數形結合思想在高中數學解題中的應用

劉嶠木

摘要：在高中數學解題過程中，數形結合是高中生數學學習必須掌握的內容。本文基于數形結合思想概念界定與分類，對數形結合思想在高中數學解題中的應用進行了分析。

關鍵詞：高中數學 ? 解題 ? 數形結合思想 ? 應用

數形結合思想是重要的數學思想之一，它將抽象的數字語言與直觀的圖形語言有機結合起來。其主要分為兩種：一是以圖形性質為條件，對數值進行求解，即借助圖形的直觀性對數字間關系加以解決;二是以數字為條件，對圖形性質進行分析，即借助數字的嚴謹及精確性，對圖形性質進行分析。

根據數形結合思想概念的界定與分類，在高中數學解題中，數形結合思想主要用于以下幾個方面：

一、在函數問題中的應用

數學教師運用數形結合思想，解決難度較高的函數題目，這不僅可以降低函數知識學習的難度，還可以較大提升函數問題的解決效率和質量。

如在教學“方程sin 2x=sin x，在區間x∈（0，2π）中，解的個數有多少？”時，數學教師可通過數形結合思想進行解題。在解題過程中，教師可畫出兩個三角函數的圖形，將其置于相同的坐標系中，通過三角函數圖像，可得出共有三個解。如此一來，有助于提升學生數學題目的解題效率，增強數學學習能力。

二、在集合問題中的應用

在高中數學教學中，集合有很多表示方法，對集合類題目進行解題時，學生可以應用數形結合思想，以文氏圖、數軸等較為明顯的圖像將集合表現出來，能夠使抽象的集合問題實現簡化，繼而更容易求解出來，有效提升集合問題的解題效率。如下題：M、N為集合I的非空真子集，且兩個子集并不相等。如M∩C1M=Φ，則M∪N=（ ）。對這一集合問題進行求解時，教師可應用數形結合思想，通過文氏圖來求解，對解題思路進行簡化。如圖1所示，N=∩C1M=Φ，所以NM。由于M≠N，所以N真包含于M，M∪N=M。在這一解題過程中，應用數形結合思想可避免各類復雜的計算過程。

三、在立體幾何問題中的應用

在高中數學教學中，立體幾何屬于重要的知識體系。在立體幾何問題的解題中，應用數形結合思想，可借助立體幾何圖形和數字的有機結合，實現立體幾何解題過程的簡化，提高立體幾何解題的效率和正確性。如圖2所示，在四棱錐P-ABCD中，其底面為平行四邊形。已知∠DAB為60°，且AB=2AD，PD⊥面ABCD。若PD=AD，求二面角A-P B-C的余弦值。

對二面角進行求解時，通常需要找到對應的平面角，在計算其邊長的基礎上，引入余弦定理，然后求解。應用數形結合思想，借助向量法求解，可使復雜的幾何問題向相對簡單的代數問題轉變，在解題思路與過程上均可得到較大簡化。

如圖3所示，以D為坐標原點，以射線DA為X軸正半軸，對空間直角坐標系統D-xyz進行建立，作為A（1，0，0）、B（0，，0）、p（0，0，0）。則（-1，，0）、（-1，0，0）、（-1，0，0）。對平面PAB法向量進行設置，為n（xyz），可得，即可得，繼而可取n=（，1，）。對平面PAB法向量進行設置，為m，可得，從而可取m=（0，-1，-）。cos

在高中數學解題中應用數形結合思想，能有效提高數學題的解題效率與準確率，對數學解題具有重要意義。

參考文獻：

[1]潘文芳.數形結合，提升素養——例談數形結合思想方法的滲透[J].數理化解題研究，2016，（17）.

[2]李天歌.高中數學解題中數形結合思想的運用探索[J].科技創新導報，2017，（20）.

（作者單位：成都市第七中學）