“整體化問題牽引”教學模式在線性代數教學中的實踐與思考

馬朝忠 鄧西云

摘 要 論文從學生的認知特征出發，結合線性代數課程自身固有的特點，對線性代數課程的教學模式、教學理念、教學方法等問題進行了有益探索，提出了“整體化問題牽引”教學模式，既注重學生整體認知能力、宏觀把握能力的提高，又以問題為牽引，引導學生充分掌握提出問題、分析問題、解決問題，以及進行知識延拓的能力，并在教學過程中進行了實踐和推廣。

關鍵詞 整體化問題牽引 教學模式 認知特征 線性代數

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2019.03.061

Abstract Starting from the students' cognitive characteristics and combining the inherent characteristics of the course of linear algebra， the paper makes a beneficial exploration on the teaching mode， teaching idea and teaching method of the course of linear algebra. This paper puts forward the teaching mode of "the holistic way of problem traction"， which not only pays attention to the improvement of students' overall cognitive ability and macroscopic grasp ability， but also takes the problem as the traction， leads the students to fully grasp and analyze the problems， and solve the problems， and the ability to extend knowledge， and in the teaching process of practice and promotion.

Keywords the holistic way of problem traction； teaching model； cognitive characteristics； linear algebra

線性代數是學生進入大學后接觸到的第一門代數課程，它是研究矩陣理論、代數特征值等問題的基礎，也是計算機應用、數字信號處理、網絡開發等等工程領域的研發工作中不可或缺的有力工具，更是學生學習專業課程如電路、理論力學、材料力學、計算機圖形學、信號與系統、測量數據處理、誤差理論、系統動力學、自動控制原理、機械振動、仿真等的先導課程。線性代數學習的好壞對后續相關課程的學習起著至關重要的作用，但是如何在有限的教學時間內，讓學生理解并掌握行列式、矩陣、向量（組）及其數值計算并對線性空間有基本的認識，培養他們的空間想象能力、邏輯推理能力、抽象思維能力以及數學實驗、建模能力和數值分析與計算能力并非易事。本文從教學實踐出發，對線性代數課程的教學模式、教學理念、教學方法等問題進行了有益探索。根據學生的認知特征，提出“整體化問題牽引”教學模式，此教學模式既注重學生整體認知能力、宏觀把握能力的提高，又以問題為牽引，引導學生充分掌握提出問題、分析問題、解決問題，以及進行知識延拓的能力，并在教學過程中進行了實踐和推廣。

1 學生的認知特征

教育心理學指出，人的學習能力是具有年齡階段特征的。簡單來說，人從大約6、7歲到14歲是記憶的最佳時期，這時的記憶力常常表現為死記硬背，能夠說出學過的知識點在哪一本書某一頁的什么位置，這種死記硬背的能力在15歲以后逐漸衰退。15歲以后，人就會逐漸變得越來越依賴于理解性記憶，30歲左右進入理解記憶的最佳時期。剛入校的學生正處在由死記硬背性記憶向理解性記憶的過渡期，有學習熱情但學得快忘得也快，而且大學的學習任務要明顯重于中學，再加上各種社團活動的吸引等等，僅靠在中學階段養成的題海戰術，很難高質量的完成大學學業。

線性代數課程大都開設在大學一年級的第一或第二學期，此時，學生正在完成由中學生向大學生轉變，正在學習適應大學生活，逐漸由一名不諳世事的青少年快速成長為一名能熟練應對各種生活問題的成人的過程中。從中學時一心只為考大學的心無旁騖，到進入大學后，要面對各種社會活動，各類課外興趣活動，不少學生心中什么都想參加，卻也有一種忙不過來的失落與迷茫，加之受年齡因素的影響，更加重了自己的心理負擔，他們的學習不可避免地會受影響。在這重重阻力之下，如何讓學生能不掉隊，甚至學得更好，對所有教師都是一個不小的挑戰。這也是我們一直在不斷探索并謀求解決的問題。

2 “整體化問題牽引”教學模式的應用與實踐

2.1 “整體化問題牽引”教學模式的基本思想

線性代數課程歷來以概念多、定理難、符號繁、運算規律交織、學習內容相互縱橫交錯，知識前后貫通性強，高度的抽象性與復雜的邏輯性，而顯得零、散、亂。這是以前很多學習過線性代數的人的共識，事實也是如此，為此，我們經過不斷的實踐與總結，歸納出“整體化問題牽引”教學模式。把整個教學內容融為一個整體，把每次課的內容融為一個小整體，讓學生先學會整體把握知識脈絡，方便學生記憶，解決了學生容易遺忘的困難；把每個小整體又分成一個又一個環環相扣的問題，沿著這些問題，把整個內容細節串起來，防止學生學習流于形式，而忽視對重點，難點的理解和掌握，有助于學生深入理解所學知識。

2.2 “整體化問題牽引”教學模式在教學中的應用

2.2.1 突出一個整體

周恩來總理曾在一次青年工作會議上講到：“年青人的工作要反復做，做反復”，就是針對年青人記得快易遺忘的認知特點而言的。在教學過程中我們注重突出知識結構的整體性，強調這個“一”。對線性代數課程，我們反復提醒學生線性代數研究的一個主要問題是解線性方程組。并且通過不同的形式讓學生認識這個問題，讓每名學生一看到線性代數這四個字馬上就會想到解線性方程組，讓這個意識在他們心里扎根。

根據學生特點結合教學要求，在課程的導入中做到三個貼近，即貼近軍事、貼近前沿、貼近生活。如對于為什么要開設線性代數，這一學生最愛問而部分老師避之不及的問題，在開課之初，我們就從保家衛國的角度分析了我國目前建設“北斗”一、二、三代衛星導航系統的重大價值和作用，從距離公式到線性方程，從導航定位到線性方程組的求解，建立起緊密聯系，使學生充分認識到衛星導航定位原理并不神秘；日常生活中，私密的保護已經成為了每個人都繞不開的問題，而與其相關密碼學中明文密文的轉換就用到了線性代數中的矩陣知識；現代人幾乎天天都要與網絡打交道，但搜索引擎幾乎人人在用，但又有誰關注它的開發其實依賴于許許多多的各類矩陣。以這些最能調動學生積極性，他們愿意關心，經常關注、最感興趣的也比較前沿的有現實意義的問題，講解線性代數在這些實際問題的解決過程中所起到的不可忽視的作用，引起學生的探索興趣也讓線性代數深入學生心中。

2.2.2 注重問題牽引

“整體”能做到提綱挈領，便于記憶，而對知識的深入理解則是通過一個接一個問題的提出、分析、解決、延伸得到強化。比如，對于二元、三元線性方程（組），可以通手工計算得到結果，但是對于多個未知數的方程組，像1000個未知數，10000個未知數，甚至未知數更多的情況，手工計算顯然是不可行的，怎么辦？為此，由二元一次方程組的解引入行列式的概念，進而討論cramer法則，解決了部分線性方程組的求解問題，繼續討論就會發現它存在著一個重大缺陷：它只能解決方程個數與未知數個數相等，且系數行列式不等于零的這一類方程組。在現實應用中更多的是不滿足這些條件的方程組，該如何求解呢？于是，又引入矩陣，利用逆矩陣，可以求一些方程組的解，我們很快又會發現，這種方法必須在系數矩陣可逆時才能實施，從解線性方程組的角度來講，并沒有突破cramer法則，如何解一般的線性方程組呢？我們發現了增廣矩陣與線性方程組的一一對應關系，并看到對線性方程組進行同解變形就相當于對它的增廣矩陣進行初等行變換，由此，可以得到線性方程組的解。進一步分析，就可得到線性方程組的解與系數矩陣、增廣矩陣的秩之間的關系，進而清楚線性方程組解的結構，以及將它應用于化一般矩陣為對角陣等等。以這樣一系列問題為牽引就可將整個線性代數的教學內容完全展開。同時，在這一過程中我們也注重向學生進行人文精神的滲透：由消元法開始最后又回到消元法的整個研究過程并不是簡單的回歸原點，而是產生了質的飛躍，這就是“一切事物的發展是螺旋式上升，波浪式前進”的基本觀點。

對于每次課，也是從整體上設計一個問題，然后圍繞這個問題提出一系列小問題，通過對些問題的分析、解決，逐步完成對整個問題的解決。例如，矩陣的相似對角化，通過實際計算，我們發現對角矩陣的高次冪計算明顯比一般矩陣的高次冪計算容易實現，于是我們就可以啟發學生提出問題：能不能把一般矩陣化為對角陣呢？如果可以，該怎么化呢？有沒有什么要求和條件？是不是所有的矩陣都可以對角化呢？當這些問題都解決了，又可進一步提示學生，矩陣的對角化除了可用于高次冪計算，還有什么作用呢？為下一步化二次型為標準形的引入埋下伏筆。還有逆矩陣，線性相關性等等問題都是可以如此展開，它們相互聯系，既是每次課的整體，又是整個線性代數課程中研究解線性方程組的一個方面。

2.2.3 強化數學工具的使用

如果繼續以傳統的方法來進行線性代數課程教學中，只會讓學生感覺到數學理論的抽象、計算的繁瑣，而與線性代數理論體系漸行漸遠，讓學生失去斷續學習這門課程的興趣。從加強數學和計算機科學滲透方面考慮，我們在現有教學模式將計算機作、多媒體作為教學輔助工具，不時使用 Matlab，mathmatic等數學軟件協助解決各種線性代數問題，將數學基礎學習和實際計算應用共同融入計算實踐當中，將數學思想方法的理論價值和數學知識的應用價值通過解決實際問題自然而然地融合在一起。線性代數的理論通過“整體化問題牽引”模式讓學生掌握，再通過計算機實驗來驗證，同時，我們自編的輔導用書《matlab在工程數學中應用》匯集了大量的應用問題，通過練習或大作業的完成，強化了學生對線性代數工程背景的深入理解?，F代數學工具的使用既兼顧了線性代數的數學學科體系特征又滿足了學生希望近距離接觸實際應用的需求，彰顯了 “學為用”的明確教學目標，通過應用調動了學生學習興趣，通過思考提升了課程內涵。

3 分析與思考

“整體化問題牽引”教學模式是從線性代數課程教學的最終目標出發，結合青年學生的認知特征，心理特征，進行地有益探索，希望能為學生學習注入新的活力。在這一過程中，通過靈活有效地創設教學問題情境，激發了學生積極參與教學活動的熱情，無形之中縮短了課程內容和學生實際經驗的差距。在教學實踐過程中，以核心問題為牽引，從整體上把握線性代數課程的基本內容，以分析問題、解決問題為目標，對線性代數課程進行再構建，將課程內容圍繞“解線性方程組”這一主題展開，通過一個又一個引發學生思考的問題將 （下轉第139頁）（上接第135頁）主要內容有機地聯系起來，形成具有層次性、網絡化的課程，加強了教學內容的系統性；從最貼近生活，最貼近前沿，最貼近軍事的學生感興趣的問題出發，體現線性代數的應用價值，引發學生的學習熱情，調動學生的探索積極性，讓學生能輕松愉快的融入學習；通過對應用問題的實驗，把理論知識、基本計算和上機實驗有機融合，以小研究、新發現帶動教學實踐，彌補傳統教學存在的不足，強化學生對科研創新認識，提升學生的綜合素質。

當然，在“整體化問題牽引”教學模式實施過程中，教師設計的每個小問題的質量直接影響著教學效果。如何設計問題，把握問題的可接受性和針對性值得進一步研究；如何在線性代數的教學中進一步體現認識論、科學自然辯證法等人文精神，也需要作深入研究。另外，從現實教學看，只有通過不斷地分析問題、解決問題并進行深入反思，才能實現深刻、牢固掌握知識，但如何在認知的基礎上引導學生對知識進行深層次思考，還需要教師歷練出足夠的教學智慧。

參考文獻

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