巧用圓錐曲線表達式解決簡單的最值和方程問題

徐暢

摘 要：解決和圓錐曲線相聯系的最值和方程問題，因所需知識概括性較強、分析能力要求高、區分度十分明顯而成為高考命題者青睞的一個熱點，但利用好圓錐曲線的表達式解決和圓錐曲線相聯系的最值和方程問題確是較為簡捷而方便的途徑，通過例子，進行了詳細闡釋。

關鍵詞：圓錐；曲線；定義；最值；方程；問題

解決和圓錐曲線相聯系的最值和方程問題，因所需知識概括性較強、分析能力要求高、區分度十分明顯而成為高考命題者青睞的一個熱點，但利用好圓錐曲線的表達式解決和圓錐曲線相聯系的最值和方程問題確是較為簡捷而方便的途徑，下面列舉一一說明。

一、圓錐曲線的表達式

（1）橢圓表達式PF1+PF2=2a（2a>F1F2）

（2）雙曲線表達式PF1-PF2=2a（2a

（3）拋物線表達式PF=d（d為點P到準線的距離）

二、典型例題

例1.（1）點P的位置在y2=4x的軌跡上，如果P到點A（3，4）和P到準線的距離和最小，那么P的坐標是 。

（2）點Q在y2=4x的軌跡上，如果Q到B（4，1）與Q到焦點F的距離和最小，那么Q的坐標是 。

思路分析：（1）A在y2=4x外，如所示圖，連PF，則PH=PF，因而易發現，當A、P、F三點共線時，距離和最小。

（2）而B在y2=4x內，如所示圖，作QR⊥l交于R，則當B、Q、R三點共線時，距離和最小。

圖1

解：（1）（2，2）

連接PF，當A、P、F三點共線時，AP+PH=AP+PF最小，AF為一條直線，方程則為y=（x-1）即y=2（x-1），聯立y2=4x得P（2，2）（得到的另外交點（，-）不取）。

（2）（，1）

過Q作QR⊥l交于R，當B、Q、R三點共線時，BQ+QF=BQ+QR最小，此時Q點的縱坐標為1，代入y2=4x得x=，∴Q（，1）

例2.P是+=1軌跡上的動點，P到+=1的右焦點F與P到點A（1，1）距離和最小值是 。

思路分析：PF為橢圓的一個焦半徑，利用橢圓的表達式將PF用另一焦半徑PF′表示出來，然后在利用三點共線求出最值。

解：（1）4-

設左焦點為F′，則F′（-1，0）連AF′、PF′

PA+PF′=PA+2a-PF′=2a-（PF′-PA）≥2a-AF′=4-

當P是F′A與橢圓的交點時，PA+PF值最小，為4-。

例題啟示：以上例題是利用圓錐曲線的表達式將點與點的距離和點與線的距離相互轉化的典型，解決了三點共線的最值問題，請同學們仔細體會。

例3.圓M與圓C1：（x+1）2+y2=36內切，跟圓C2：（x-1）2+y2=4外切，求M的圓心軌跡方程。

思路分析：不妨設圓M的半徑為r，利用圓與圓的位置關系與半徑的關系可以得到兩個等式，等式1：

MC1=6-r；等式2：MC2=2+r然后兩式相加即可得到結果

解：設圓M的半徑為r由動圓M與圓C1內切可得MC1=6-r，由動圓M與圓C2

外切可得MC2=2+r，∴MC1+MC2=8

故由橢圓的表達式可知點C1和C2是M圓心橢圓軌跡的兩個焦點，軸長是8。得2a=8，a=4，c=1，b2=15，故M的圓心軌跡方程是+=1

例題啟示：在得到關系式MC1+MC2=8后，我們可直接根據橢圓的表達式寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出+=8，再移項，平方，相當于將橢圓標準方程推導了一遍，較

繁瑣！

例4.在△ABC中，B（-10，0），C（10，0），且sinC-sinB=sinA，求點A的軌跡方程。

思路分析：先利用正弦定理在方程sinC-sinB=sinA兩邊同乘以2R（R為外接圓半徑），將三角形中角的關系轉化為邊長的關系，然后再利用雙曲線的表達式求出點A的軌跡方程。

解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA

∴AB-AC=BC

即，AB-AC=16

∴點A的路徑軌跡是去掉頂點的右支曲線

∵2a=16，2c=20，

∴a=8，c=10，b=6。

所求軌跡方程為：-=1（x>0）（x>8）。

例題啟示：以上例題中AB-AC=16是利用雙曲線表達式直接得到點A的軌跡方程，簡捷而方便。

例5.長度為3的線段AB的兩個端點在拋物線y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸的最短距離。

思路分析：（1）可直接利用拋物線設點，如設A（x1，x12），B（x2，x22），又設AB中點為M（x0，y0）用弦長公式及中點公式得出y0關于x0的函數方程，再用函數思想求出最短距離。

（2）M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮M到準線的距離，想到使用表達式。

思路1：設端點A（x1，x12）端點B（x2，x22）和M（x0，y0）

得出方程組（x1-x2）2+（x12-x22）2=9 ①x1+x2=2x0 ②x12-x22=2y0 ③

由①得（x1-x2）2[1+（x1+x2）2]=9

即[（x1+x2）2-4x1x2]·[1+（x1+x2）2]=9 ④

由②③得2x1x2=（2x0）2-2y0=4x02-2y0

代入④得[（2x0）2-（8x02-4y0）]·[1+（2x0）2]=9

∴4y0-4x02=，

4y0=4x02+=（4x02+1）+-1

≥2-1=5，y0≥

當4x02+1=3即x0=±時，y0min=，此時M±，。

思路2：如圖，2MM2=AA2+BB2=AF+BF≥AB=3

∴MM2≥，即MM1+≥，

∴MM1≥，當AB經過焦點F時取得最小值。

∴M到x軸的最短距離為。

例題啟示：思路1是一種“設而不求”的方法，先根據條件列出方程組，再利用整體消元思想消x1，x2，從而得到y0與x0的關系式，最終根據基本不等式解決問題。而思路2根據拋物線的表達式，將M到x軸的距離轉化成M到準線的距離，依據梯形中位線，進一步轉化為A、B到準線的距離之和，結合曲線表達式解決問題。當然此解法沒有驗證AB是否經過焦點F，而且點M的坐標也無直接得出。

參考文獻：

[1]李賀偉.巧用定義解決圓錐曲線最值問題[J].中學生數理化（學習研究），2018（3）：9-10.

[2]吳浩.巧用定義 速解高考題[J].新高考（高三數學），2014（Z1）：31-32.

編輯 段麗君