基于錯(cuò)誤損失視角的梯形模糊多屬性群決策方法

黃灝然，蔡 肯，貝海堅(jiān)

（仲愷農(nóng)業(yè)工程學(xué)院 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣州 510225）

0 引言

多屬性群決策是指在多個(gè)屬性的條件下利用專家群體判斷信息對(duì)有限個(gè)備選方案進(jìn)行排序與選優(yōu)的問題[1，2]。同個(gè)體決策相比，群決策能夠充分利用各個(gè)專家的主觀經(jīng)驗(yàn)和更系統(tǒng)的考慮問題，有效提高決策的科學(xué)性和準(zhǔn)確性，更適合用于處理復(fù)雜的決策問題[3]。在多屬性群決策過程中，受客觀世界的復(fù)雜性和人類認(rèn)識(shí)的局限性等因素的影響，使得決策信息有時(shí)只能以模糊數(shù)（如梯形模糊數(shù)）的形式給出，這類群決策問題被稱之為模糊多屬性群決策問題[4，5]。

目前處理模糊多屬性群決策問題的方法主要可以分為兩類。一類是將決策者看成完全理性，以期望效益理論為基礎(chǔ)進(jìn)行決策分析。另一類則是以決策者有限理性為前提，認(rèn)為決策者存在損失規(guī)避的心理行為特征。通過文獻(xiàn)的梳理可以發(fā)現(xiàn)，從損失規(guī)避的角度[6-9]研究模糊多屬性群決策問題比從期望效用的角度更符合客觀實(shí)際，但相關(guān)研究比較匱乏。在文獻(xiàn)[10] 中，指出前景理論和后悔理論存在的不足，認(rèn)為錯(cuò)誤是損失產(chǎn)生的主要原因，提出從錯(cuò)誤損失的角度研究模糊多屬性決策問題。由于實(shí)數(shù)、區(qū)間數(shù)和三角模糊數(shù)均是梯形模糊數(shù)的特殊形式，使得梯形模糊數(shù)具有典型的代表意義。綜上，本文將在文獻(xiàn)[10] 的基礎(chǔ)上對(duì)梯形模糊多屬性群決策問題展開研究。

1 錯(cuò)誤損失的相關(guān)概念與定義

根據(jù)錯(cuò)誤系統(tǒng)理論[11]以及文獻(xiàn)[10,12，13] ，本文對(duì)模糊多屬性群決策系統(tǒng)中的錯(cuò)誤和損失等相關(guān)概念作如下界定。

定義1：在給定的模糊多屬性群決策問題中，若備選策略a在屬性c上的測(cè)量值違背專家d所設(shè)定的規(guī)則Gd的要求，則稱策略a在屬性c上對(duì)于專家d而言發(fā)生錯(cuò)誤。

根據(jù)錯(cuò)誤所帶來的影響，可將錯(cuò)誤進(jìn)一步劃分為一般型錯(cuò)誤和完全型錯(cuò)誤。

定義2：若策略a在屬性c上發(fā)生的錯(cuò)誤大到足以讓專家d認(rèn)為策略a為不可行策略，則稱這時(shí)的錯(cuò)誤相對(duì)于專家d而言為完全型錯(cuò)誤；反之若錯(cuò)誤只帶來局部影響，則稱這時(shí)的錯(cuò)誤相對(duì)于專家d而言為一般型錯(cuò)誤。

通俗的講，模糊多屬性群決策環(huán)境中的錯(cuò)誤是指?jìng)溥x策略在屬性上的測(cè)量值與專家的期望存在不匹配的情況。當(dāng)屬性值與期望部分不匹配時(shí)稱為一般型錯(cuò)誤，當(dāng)屬性值與期望完全不匹配時(shí)稱為完全型錯(cuò)誤。根據(jù)定義2，完全型錯(cuò)誤具有“一票否決”特征，一般型錯(cuò)誤則表現(xiàn)出線性補(bǔ)償特征。不同的專家對(duì)同一屬性往往存在不同期望。專家d對(duì)屬性的期望要求形成了該專家的判斷規(guī)則Gd，所有專家的規(guī)則的集合構(gòu)成模糊多屬性群決策問題的判斷規(guī)則G。大量的實(shí)踐和理論研究證明，在實(shí)際決策過程中決策者時(shí)常對(duì)屬性存在一個(gè)由底線值和目標(biāo)值組成的心理閾值區(qū)間[14]。顯然，這里可以提出以下假設(shè)。

假設(shè)1：每個(gè)專家對(duì)各個(gè)屬性均存在一個(gè)由底線值和目標(biāo)值組成的心理期望閾值區(qū)間。

在假設(shè)1中底線值是指決策者能夠接受的最低水平值，當(dāng)屬性值低于底線值時(shí)，不管其他屬性的測(cè)量值大小如何，備選策略將被否決；目標(biāo)值是指讓決策者感到滿意的水平值，當(dāng)屬性值達(dá)到甚至優(yōu)于目標(biāo)值時(shí)，決策者對(duì)備選策略在相應(yīng)屬性上的表現(xiàn)感到滿意。

根據(jù)消錯(cuò)理論和心理閾值區(qū)間相關(guān)研究成果[10,14]，可將屬性值與底線值和目標(biāo)值之間的關(guān)系看成判斷錯(cuò)誤是否發(fā)生的規(guī)則。當(dāng)屬性值優(yōu)于目標(biāo)值時(shí)，沒有發(fā)生錯(cuò)誤；當(dāng)屬性值劣于底線值時(shí)，備選策略將被否決，這時(shí)發(fā)生完全型錯(cuò)誤；當(dāng)屬性值介于底線值和目標(biāo)值之間時(shí)，發(fā)生一般型錯(cuò)誤。

定義3：在模糊多屬性群決策問題中，將錯(cuò)誤導(dǎo)致備選策略偏離專家預(yù)期目標(biāo)的程度稱為損失。

定義4：在模糊多屬性群決策問題中，將錯(cuò)誤可能帶來的最大損失量稱為錯(cuò)誤的極限損失。

2 決策方法

2.1 問題描述

在模糊多屬性群決策問題中，為方便起見，用A={a1,a2,…,am}表示包含m個(gè)備選策略的策略集，M={1,2,…,m}；用C={c1,c2,…,cn}表示包含n個(gè)屬性的屬性集，N={1,2,…,n}；用W={w1,w2,…,wn}表示屬性的權(quán)重向量，其中wj表示屬性cj的權(quán)重，0≤wj≤1且；用 D={d1,d2,…,dt}表示包含t個(gè)專家的專家集，T={1,2,…,t}；用λ={λ1,λ2,…,λt}表示專家權(quán)重向量,0≤λk≤1,；專家dk對(duì)屬性cj的底線值表示為，目標(biāo)值表示為表示決策矩陣，其中xi，j表示策略 ai在屬性 cj上的測(cè)量值，為梯形模糊數(shù)。屬性通常可以分為效益型和成本型兩種，效益型屬性的集合用C1表示，成本型屬性的集合用C2表示；效益型屬性下標(biāo)的集合用N1表示，成本型屬性的下標(biāo)集合為N2。

2.2 決策方法的步驟

（1）建立錯(cuò)誤函數(shù)

錯(cuò)誤的發(fā)生導(dǎo)致?lián)p失的產(chǎn)生。為對(duì)損失進(jìn)行精確描述，需要對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行定量表示。為獲得屬性值所對(duì)應(yīng)的錯(cuò)誤值，首先需要構(gòu)建錯(cuò)誤函數(shù)。為簡(jiǎn)單起見，這里先建立屬性值為實(shí)數(shù)xi,j時(shí)的錯(cuò)誤函數(shù)，再以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步推導(dǎo)出屬性值為梯形模糊數(shù)xi，j時(shí)的錯(cuò)誤值。根據(jù)假設(shè)1可將屬性值是否優(yōu)于目標(biāo)值作為專家的判斷規(guī)則。根據(jù)定義1可知，當(dāng)屬性值xi,j優(yōu)于或等于理想目標(biāo)值時(shí)，專家dk感到滿意沒有錯(cuò)誤發(fā)生，這時(shí)可以用0表示錯(cuò)誤值；相反當(dāng)屬性值xi,j劣于理想目標(biāo)值時(shí)錯(cuò)誤發(fā)生，這時(shí)可以用大于0的數(shù)字表示錯(cuò)誤值。在現(xiàn)實(shí)生活中人們往往都是錯(cuò)誤規(guī)避的，錯(cuò)誤越小效用越高。因此，當(dāng)xi,j劣于理想目標(biāo)值時(shí)，錯(cuò)誤函數(shù)應(yīng)該是單調(diào)遞增凸函數(shù)，即的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該都是大于0。根據(jù)定義2，錯(cuò)誤可以進(jìn)一步細(xì)分為完全型錯(cuò)誤和一般型錯(cuò)誤，且完全型錯(cuò)誤的數(shù)值應(yīng)明顯大于一般型錯(cuò)誤。因此，當(dāng)屬性值xi,j介于目標(biāo)值和底線值之間時(shí)（即發(fā)生一般型錯(cuò)誤），可用(0,1)上的數(shù)值來表示錯(cuò)誤值；當(dāng)屬性xi,j劣于底線值時(shí)（即發(fā)生完全型錯(cuò)誤），可用[1,+∞] 上的數(shù)值來表示錯(cuò)誤值。綜上，對(duì)專家dk而言，效益型屬性的錯(cuò)誤函數(shù)可表示為式（1），成本屬性的錯(cuò)誤函數(shù)可表示為式（2）。

式（1）和式（2）中，α為錯(cuò)誤規(guī)避參數(shù)，α>1。由式（1）和（2）錯(cuò)誤函數(shù)可綜合表示成式（3）。

（2）計(jì)算梯形模糊數(shù)的錯(cuò)誤值

根據(jù)式（4）梯形模糊數(shù)xi，j的可能性概率密度函數(shù)可表示為隸屬度函數(shù)μxi，j除以曲線與 x軸圍成的面積，即：

完全型錯(cuò)誤的“一票否決”特征、一般型錯(cuò)誤的線性補(bǔ)償特征和梯形模糊數(shù)的模糊性使得錯(cuò)誤值的計(jì)算需要分情況進(jìn)行討論。

圖1 概率密度函數(shù)與底線值

假設(shè)專家dk接受完全型錯(cuò)誤發(fā)生概率的臨界值（簡(jiǎn)稱接受臨界值）為pk，0

由式（9）和式（10）屬性值相對(duì)于專家dk而言的錯(cuò)誤值可綜合表示為式（12）。

（3）錯(cuò)誤值的集結(jié)

由式（12）可得到屬性值相對(duì)于t個(gè)專家的t個(gè)錯(cuò)誤值分別為。為進(jìn)一步對(duì)備選策略進(jìn)行比較，需要將t個(gè)錯(cuò)誤值集結(jié)成一個(gè)綜合錯(cuò)誤值。當(dāng)t個(gè)錯(cuò)誤值中既有大于等于1又有小于1的數(shù)時(shí)，需要根據(jù)完全型錯(cuò)誤的發(fā)生概率與接受臨界平均值（pk的平均值，0＜ˉ＜1）的關(guān)系分類討論錯(cuò)誤值的集結(jié)方式。若說明專家組判斷完全型錯(cuò)誤發(fā)生的概率高于專家組對(duì)完全型錯(cuò)誤發(fā)生概率接受水平的平均值，這時(shí)備選策略將被否決，集結(jié)值應(yīng)取ρ。若可以認(rèn)為專家組忽略完全型錯(cuò)誤的發(fā)生可能，為弱化完全型錯(cuò)誤與一般型錯(cuò)誤在取值上的區(qū)別，可令ρ取最小可能值1。在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一般型錯(cuò)誤的線性補(bǔ)償特征，可利用加權(quán)平均法對(duì)t個(gè)錯(cuò)誤值進(jìn)行集結(jié)。當(dāng) t個(gè)錯(cuò)誤值均小于 1時(shí)，，可利用加權(quán)平均法對(duì) t個(gè)錯(cuò)誤值進(jìn)行集結(jié) 。 當(dāng) t個(gè)錯(cuò)誤值均為ρ 時(shí) ，，所有專家均認(rèn)為會(huì)發(fā)生完全型錯(cuò)誤，這時(shí)的集結(jié)值應(yīng)取ρ。綜上，屬性值所對(duì)應(yīng)的t個(gè)錯(cuò)誤值集結(jié)為綜合錯(cuò)誤值ei,j可表示如公式（13）。

由式（13）可將t個(gè)專家的錯(cuò)誤值矩陣集結(jié)成綜合錯(cuò)誤值矩陣 [ei，j]m×n。若錯(cuò)誤值矩陣 [ei，j]m×n在第 i行上不存在ρ，說明沒有發(fā)生完全型錯(cuò)誤，備選策略ai為可行策略；若第i行上存在ρ，說明發(fā)生完全型錯(cuò)誤，備選策略ai為不可行策略。如果可行策略的數(shù)量大于等于二，則需要通過計(jì)算損失值進(jìn)一步對(duì)策略進(jìn)行排序與選優(yōu)。

（4）計(jì)算損失值

根據(jù)上文可知，可行策略在各屬性上只可能發(fā)生一般型錯(cuò)誤。為獲得一般型錯(cuò)誤的損失值，需要首先計(jì)算一般型錯(cuò)誤的極限損失值。根據(jù)文獻(xiàn)[10] ，相對(duì)于專家dk而言，屬性cj的極限損失值可表示為式（14）。

考慮到專家之間和屬性之間重要性的差異，群決策環(huán)境下屬性cj的極限損失值可表示為式（15）。

根據(jù)文獻(xiàn)[10-13] 策略ai在屬性cj上的損失值可以表示為錯(cuò)誤值與極限損失值的積，即：

（5）排序與選優(yōu)

根據(jù)損失規(guī)避的原則，損失越小越好。屬性損失的最小可能值為0，最大則為極限損失值。根據(jù)TOPSIS法的原理，可以構(gòu)建正理想點(diǎn)l+=(0，0，…，0)和負(fù)理想點(diǎn)。這時(shí)，貼近度可表示為：

其中，正理想距離和負(fù)理想距離分別為：

顯然，Yi越大，策略ai越優(yōu)。

3 算例分析

3.1 問題描述

隨著電子商務(wù)業(yè)務(wù)的快速發(fā)展，為進(jìn)一步提高農(nóng)產(chǎn)品配送水平，某農(nóng)產(chǎn)品電商企業(yè)決定選擇第三方物流服務(wù)商進(jìn)行業(yè)務(wù)合作。經(jīng)過初步洽談，目前具有合作意向的物流服務(wù)商一共有五家，分別記為{a1，a2，a3，a4，a5}。該農(nóng)產(chǎn)品電商企業(yè)選擇物流服務(wù)商主要考慮送貨成本、送貨周期、送貨質(zhì)量、客戶評(píng)價(jià)四個(gè)屬性，分別表示為：c1成本費(fèi)用（萬元/月），c2平均送貨周期（小時(shí)），c3客戶滿意度（%），c4損壞率（%）。屬性的權(quán)重向量為W=[0.22,0.26,0.38,0.14] ，考慮到問題的不確定性和信息的模糊性，屬性值采用梯形模糊的形式表示。經(jīng)過初步調(diào)查，各個(gè)物流服務(wù)商在各屬性下的測(cè)量值如表1所示。

表1 決策矩陣

該企業(yè)邀請(qǐng)4位專家對(duì)候選物流服務(wù)商進(jìn)行評(píng)估，各個(gè)專家對(duì)各屬性的底線值和目標(biāo)值如表2所示，專家權(quán)重向量為λ=[0.20,0.24,0.26,0.30] ，求最佳物流服務(wù)商。

表2 底線值與目標(biāo)值

3.2 方案選擇與對(duì)比分析

考慮到本文篇幅同時(shí)為方便計(jì)算這里假設(shè)每個(gè)專家的接受臨界值均為10%，即pk=10%,pˉ=10%。由公式（12）可計(jì)算得到各個(gè)專家的錯(cuò)誤值矩陣（按照經(jīng)驗(yàn)α取2），如表示3所示；再由公式（13）可得到由4個(gè)專家的錯(cuò)誤值矩陣集結(jié)成的綜合錯(cuò)誤值矩陣，如表4所示。顯然，沒有完全型錯(cuò)誤，所有候選物流服務(wù)商均是可行方案，這時(shí)需要通過進(jìn)一步計(jì)算損失值以實(shí)現(xiàn)對(duì)物流服務(wù)商的排序與選優(yōu)。由公式（15）可求得各屬性的極限損失值分別為q1=0.0482，q2=0.1198，q3=0.0284，q4=0.1336。由式（16）可求得損失值矩陣如表5所示。

表3 專家的錯(cuò)誤值矩陣

表4 綜合錯(cuò)誤值矩陣

表5 損失值矩陣

由式（17）到式（19）可求得貼近度分別為Y1=0.488，Y2=0.561，Y3=0.844，Y4=0.736，Y5=0.811。顯然，策略 a3最優(yōu)，其他依次分別為a5，a4，a2，a1。這與傳統(tǒng)方法（前景理論、后悔理論、TOPSIS法）的計(jì)算結(jié)果一致（篇幅關(guān)系，傳統(tǒng)方法的計(jì)算過程省略），如表6所示。

表6 方法比較與參數(shù)分析

為進(jìn)一步比較決策者對(duì)完全型錯(cuò)誤發(fā)生概率的不同期望對(duì)決策分析結(jié)果的影響，這里再進(jìn)一步計(jì)算當(dāng)pˉ為5%和1%時(shí)的方案排序結(jié)果。當(dāng)pˉ=5%時(shí)，方案a1在屬性c2上發(fā)生完全型錯(cuò)誤，方案a1為不可行策略；當(dāng)pˉ=1%時(shí)，除了方案a1在屬性c2上發(fā)生完全型錯(cuò)誤外，還有方案a2在屬性c4上發(fā)生完全型錯(cuò)誤，這時(shí)方案a1和方案a2均為不可行方案。不同的pˉ值，方案的分類及排序結(jié)果如表6所示。顯然，當(dāng)決策者對(duì)完全型錯(cuò)誤發(fā)生概率越敏感，則對(duì)可行性方案的要求越嚴(yán)格。

4 結(jié)論

本文在承認(rèn)損失規(guī)避的普遍性的基礎(chǔ)上，認(rèn)為錯(cuò)誤是損失產(chǎn)生的主要原因，從錯(cuò)誤損失的角度提出一種新的梯形模糊多屬性群決策方法。新的決策方法，充分考慮了不同類型的錯(cuò)誤和損失對(duì)決策結(jié)果的影響，也考慮了不同決策者對(duì)損失和風(fēng)險(xiǎn)的心理期望特征。新的決策方法通過設(shè)置接受臨界值這一參數(shù)，能夠有效反映不同的心理期望環(huán)境下，決策者對(duì)可行策略的篩選要求。當(dāng)決策者對(duì)完全型錯(cuò)誤發(fā)生概率越敏感，則對(duì)可行性策略的要求越嚴(yán)格。新的方法不僅能夠有效分辨出不同心理期望條件下的可行策略，而且對(duì)可行策略的排序結(jié)果與傳統(tǒng)方法基本一致。