高中數學教學中“問題鏈”設計的原則和策略分析

◎李應春

根據高中數學抽象思維要求較高的特征，有時為了解決一個難度較大或靈活性較強的問題，往往需要通過設置一連串的中間問題進行啟智導學，這一連串問題就是一個問題鏈。一般在給出問題的大前提后，把問題分成幾問，再對各問層層加深，不斷提高。而各問間既相對獨立，又具有或緊或松的聯系，往往前一個問題是后一個的基礎和鋪墊，后一個問題是前一個問題的深化和遞進。

問題鏈是教師在特定的條件下，為實現某一特定的教學目標而設計的。從形式上看，問題鏈是一問接一問，一環套一環；從內容上看，它是問問相連，環環緊扣；從目標上看，它是步步深入，由此及彼。它的每一問都可使學生的思維產生一次飛躍，它像一條鎖鏈，把疑問和目標緊緊地連在一起。“問題鏈”不是教師提幾個問題加上學生的回答，而是師生雙方圍繞環環相扣的問題情境，進行多元的、多角度的、多層次的探索、學習和發現。

在教學中，如果教師總能根據不同的教材課型、不同的目的要求、不同的學習對象巧妙地設置“問題鏈”，創設特定的問題情境。隨著“問題鏈”的逐一呈現，學生或獨立思考，或合作交流，或師問生答共同探討，將學生的思維一次又一次地推向高潮，極大地激發學生的學習熱情和學習興趣，突出學生在學習活動中的主體地位，鼓勵學生獨立思考、大膽質疑，不知不覺中既解決了問題又獲得了知識或方法。

一、“問題鏈”設計的原則

“問題鏈”設計原則，是指進行“問題鏈”設計時所必須遵循的基本要求和準則，對問題設計具有普遍的指導意義。

1.“最近發展區”原則 教師在進行“問題鏈”設計時，必須根據每個學生的“最近發展區”進行設計。維果斯基認為在進行教學時，必須注意到學生有兩種發展水平：一種是現有的認知發展水平；另一種是即將達到的認知發展水平。把兩種水平之間的差異稱為“最近發展區”。要使設計的問題能達到預設的目的，教師必須能夠設計出切入到學生的認知系統中去的問題。問題設計時難易適度，過于淺顯的問題，學生往往脫口而出，形成一種表面化的“積極”與“熱鬧”，實際上思維仍停留在低級、單一的水平；但難度過高的問題會讓學生畏難，失去學習興趣。應在“現有水平”與“最近發展區”的結合點，也就是俗話所說的“跳一跳就能摘到果子”，既要避免“輕而易舉”，又要避免“百思不得其解”等現象。因此，教師要了解學生現有的認知水平，了解學生要學習新知識應具備的基本知識和基本能力，學生還有何欠缺，需要在講新課之前相應地設計哪些問題加以補充或引導，打開學生的思路。

例如，我在講授《函數的概念》時，“函數的概念”對于每一個高一的學生而言都不是一個陌生的概念，他們在初中階段已經學習過函數的概念，但是初中階段是把函數理解為變量與變量間的關系，而高中階段函數的概念課的定位應該是在以往的概念上加以可能的提升。針對學生的實際認知水平和思維能力，可以列舉一些具體的函數。例如，一次函數、二次函數和反比例函數等，這些函數都是學生熟知的，從這些函數切入，使學生體會函數是數集與數集之間的一種特殊對應關系，在此基礎上使學生對函數的理解從初中階段變量說中的變量與變量間依賴關系逐步抽象為高中階段對應說中的集合與集合的對應關系。把這個過程的發生呈現給學生，使學生的思維由“未知區”向“最近發展區”過渡，以此達到把變量說抽象到對應說的目的，這樣的設計符合學生的認知規律，易于理解與遷移，提高能力。

2.循序漸進原則 人們對于數學問題的認識是一個由淺入深、從現象到本質、從低維到高維的循序漸進的過程，是學生主動建構的知識的過程。因此，“問題鏈”的設計就要遵循這種原則，要由簡單到復雜、由已知到未知、從具體到抽象環環緊扣地組成問題鏈，引導學生思維逐步深入。教師根據學生的實際知識水平設計問題鏈，針對班級人數多，學生程度不齊的實際，問題鏈里面包含一連串各種各樣的小問題。問題之間是相互聯系的，有知識先后之分、難易之分，通常后一個問題是前一問題的深層挖掘，從而形成一串問題鏈。教學中不應追求知識的“一步到位”，要體現知識發展的階段性，以符合學生的認知規律，要減小問題與問題之間的梯度，不要把概念過早地“符號化”強加于學生，要讓學生充分經歷知識的發生與發展的過程，在問題的引導下自然達到一定的高度，以使學生對知識的自主建構成為可能。

這三個問題形成一串循序漸進的問題鏈。原題條件n＝9學生可以枚舉出每一項再求和，但是當n取值很大時，枚舉就遇到困難，必須理解這個高階矩陣的含義；解決問題2的時候發現，n＝2010時，它的過程也和n＝9不一樣；問題3是對本題深層的挖深，在前面問題的引導下，使學生能夠意識到本質，能夠對n進行奇偶的討論，從而使學生對這個問題的理解達到了一定的高度。

3.整體性原則 “問題鏈”中的一連串問題應該是一個有機的整體，不能像散兵游勇那樣零打碎敲，而要緊扣教學目標、教學重點及難點，圍繞某一中心問題進行漸進式的、全方位的設問。各個問題之間是環環相扣、相輔相成的，能夠讓不同的學生在同一問題上得到不同的發展，使學生樂于參與，主動探索，從而讓每個人都有體驗成功的機會。同時在成功的基礎上，又能去探索更深層次的問題。

如在研究“偶函數的概念”時，我設計問題鏈：

問題1：在討論了二次函數的基礎上，大家知道f（x）＝x2的圖像關于y軸對稱，那么怎樣的函數的圖像關于y軸對稱？

（由學生所熟悉的二次函數出發，由已知到未知，由具體到抽象。但是學生在解決這個抽象的問題時，通常會遇到困難，可以設置以下子問題。）

問題2：什么叫做函數y＝f（x）圖像關于y軸對稱？

（這樣的提問可使學生從圖像對稱的本質上出發，圖像是點的集合，在圖像上任取一個點P，再由點的任意性可得，任意x∈D，有f（－x）＝f（x）。）

問題3：是否就此找到了判別函數圖像關于y軸對稱的方法？

（學生往往在這里忽視了思維的嚴謹性，在這個問題引導下學生的思維自然達到一定高度，要考慮它的逆命題！）

（引導學生類比得到函數y＝f（x）的圖像關于原點成中心對稱的充要條件。）

問題5：函數圖像有關于y軸對稱、原點成中心對稱，那么有沒有關于x軸對稱？

問題6：我們討論了偶函數、奇函數，還有既不是偶函數也不是奇函數的函數，那么是否有既是偶函數又是奇函數的函數？

（最后提出兩個思考題，引發學生的思維逐步引向深入。）

這一連串問題緊緊圍繞著函數的奇偶性這一教學目標和中心問題，進行全方位的設問，引導學生發現、探索函數奇偶性的需要、可能，以及研究方法，使之順應知識的發生、發展的自然過程，形成一個有機的整體。

二、“問題鏈”設計的策略

與原則相比，策略只是提供一種方向性的“指南”，但是好的策略卻可以幫助和指導我們設計出高質量的問題。根據問題設計原則，結合我的教學實踐，總結“問題鏈”設計的幾條策略：

1.利用學生的探究欲望設計“問題鏈” 蘇霍姆林斯基曾經說：“學生心靈深處有一種根深蒂固的需要——希望自己是一個發現者、研究者、探究者”。因此，教師的問題設計應有助于滿足學生這種需要，學生自己思考問題，對于知識的理解和建構過程可以交給學生來完成，教師在其中只要充當一個引導者就夠了。

例如，我在二面角的平面角教學中設計如下問題情境：

（1）問題情境

問題1：在賀卡轉動過程中形成了看上去不同的二面角，用什么量來刻劃它們的不同呢？

生：角。

問題2：這個角在哪里？用哪個角來刻畫？

多么完美無差的對話，可蒲琳心里卻像塞了棉花，那種虛脹讓她難受。張盈盈指引給她的生活標準就是只要條件允許，只要她愿意，什么都可以做。

生：……

（用賀卡作為教學實物，可以使學生體驗到二面角的幾何直觀，更迅速地把學生引入到課題情境中去。）

（2）提供背景材料

問題3：以前遇到過類似的問題嗎？

生：兩條異面直線所成角和直線和平面所成角。

問題4：當時我們是如何處理的？

生：都是將空間問題轉化為平面問題，直線與直線所成的平面角。

（教師并沒有直接給出二面角的定義，而是設計問題引導學生自主探究，讓學生在思考中體會空間問題平面化的思想。）

（3）在層層遞進的問題中形成“問題鏈”

問題5：現在我們怎樣在二面角中構造一個平面上的角來刻畫二面角呢？

生：邊界上的角。

問題6：這種說法正確嗎？雖然我們畫出了二面角，但實際上在這個圖形中只有這條棱是具體存在的，而其他的六條邊都是虛擬出來的。

生：從棱上一點O出發分別在半平面α和半平面β內作垂直于棱的射線OA和OB，用∠AOB來刻畫。

問題7：還有沒有其他方法呢？是不是一定要垂直呢？不垂直可以嗎？可不可以過O點做兩條與棱成30°角的射線來刻畫啊！也可以得到一個平面上的角，也隨著二面角的變化而變化啊！

生1：情況不唯一。

生 2：與我們直觀不符......

（通過幾個設問層層遞進，使學生主動探究，從而體會出二面角定義的合理性。）

二面角的平面角的概念是本節課的教學難點，如果直接給出二面角平面角的概念，有一種“強加于人”的感覺，學生只能被動地記住。通過這樣層層遞進的問題鏈，引導學生進行自主探究，最后形成統一的認知。在這個過程中滲透了將空間問題轉化為平面問題這一化歸的數學思想方法。

2.利用數學實驗設計“問題鏈” 傳統的高中數學課堂教學的模式下，多以老師講、學生聽，這樣的教學模式使得很多學生不習慣主動地思考，只處于被動地接受的地位。利用數學實驗設計問題鏈教學就是一種對傳統教學手段的變革。數學實驗就是學生利用計算器或計算機等信息技術工具，如《幾何畫板》、圖形計算器等，讓學生通過自己動手，進行觀察、猜想、分析、證明有關數學問題的過程。教師應盡力給學生提供數學活動的體驗，多給學生提供實踐操作的機會，引導學生通過信息技術工具，主動、積極、批判地思考問題，創造性地解決問題，充分調動學生的積極性，使學生變被動學習為主動學習。

例如，在《冪函數》的教學中，傳統教法是用“描點法”作出幾個圖像，然后直接給出冪函數y＝xa的性質。這有些“強加于人”的感覺。如學生對為什么要把指數a分為a＜0、0＜a＜1和a＞1幾種情況加以討論不一定理解，學習過程比較被動。而引導學生自由選擇a的值，用圖形計算器作出圖像，形成對冪函數性質的感性認識。然后再用圖形計算器在同一坐標系內作圖像，在此過程中，利用數學實驗分層次、階梯性地創設問題鏈，可使難易程度盡量貼近學生的最近發展區，使設計的“問題鏈”觸及學生的興奮點，激起學生探究的欲望。最后由“形”到“數”，用定義加以證明，實現了觀察——猜測——論證的過程，學生由豐富的直觀感覺容易過渡到形象思維，并提高到抽象思維。

“歸納—猜測—證明”是一種重要的數學思想方法，通過數學實驗的設計使學生在這個過程中自己提出問題、歸納實例、提出猜想以及證明猜想，體驗發現的樂趣。

3.利用試題變式設計“問題鏈” “變式教學是指教師在引導學生解答數學問題時，變更概念非本質的特征，變更問題的條件或結論；轉換問題的形式或內容；創設實際應用的各種環境，使概念或本質不變的一種教學方式。”教師以某一知識點為中心，從不同方向、不同角度設置一串“問題鏈”，一方面它能培養學生靈活多變的思辨能力，另一方面又能澄清學生的模糊和錯誤的認識，幫助學生從整體上把握知識的內在規律。

例如，在學習了等差、等比數列的通項公式后，我給出以下的變式題：

（1）已知數列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an（n∈ N*），求數列 ｛an｝的通項公式；

（2）已知數列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an＋1（n∈ N*），求數列｛an｝的通項公式；

（3）已知數列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an＋n（n∈ N*），求數列｛an｝的通項公式；

（4）已知數列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an＋kn＋b（k、b為常數，n∈N*），求數列｛an｝的通項公式；

（5）已知數列 ｛an｝中 a1＝1，an＋1＝2an＋2n＋1（n∈N*），求數列｛an｝的通項公式；

通過變式既可以把具體的問題抽象化，提升學生抽象思維的能力。

教學實踐實驗研究表明，根據本文所提出的“問題鏈”設計原則和策略，在教學中設計恰當的“問題鏈”對提升教學質量與改善學生非智力因素是較為有效的。一方面，它對學生的數學知識技能的掌握、數學學習態度和思維方式、學習興趣等方面的效果較為顯著，是提高高中生數學學習成績的一種有效方式。另一方面，“問題鏈”的設計也需要智慧，對教師的課堂問題預設能力及課堂問題生成能力有較高的要求。客觀上，教師設計出一個“好”的“問題鏈”對其專業水平和教學能力具有一定的提升作用。