基于教材習題的微專題教學設計

江蘇省蘇州市吳縣中學 (215151)

康小峰

微專題是高三數學二輪復習的常見形式，一般是通過一兩節課的教學就某類熱點問題讓學生形成解決一類問題的思維主線，從而達到提升學生解題能力的效果.但縱觀時下的高三數學二輪教學現狀，很多老師在操作上還存在以下誤區：1.專題不專，大多數專題還是以知識點分類的，內容多而雜，并未聚焦在核心問題和熱點問題上；2.教法單一，課堂上多半是以教師講解和展示學生解題過程為主，學生缺乏深度思維，課堂索然無味，從而導致學生學習效率低下.另外，通過瀏覽近幾年的各地模考卷和高考試卷，筆者發現很多試題源于教材又高于教材，這說明教材上的習題大多具有豐富的背景和廣闊的外延，值得教師進行二次開發，如能以此為載體進行探究形成一系列微專題定會收到意想不到的效果.基于以上教學現狀和思考，筆者試圖從發展學生數學核心素養的角度進行了一些探索和嘗試，現就如何以教材習題為題根進行微專題設計談談自己的想法，不當之處，請同行批評指正.

一、由習題滲透思想方法

我們知道數學思想方法是數學知識的重要組成部分，但它又較數學知識具有更高的層次，它是一種數學意識，可以用來指導我們的解題,是一種重要的素養.因此，要讓學生自覺形成用數學思想方法來指導解題，就必須在平時的教學中加以滲透，僅僅靠幾個思想方法專題是無法將其內化為學生的自覺行為，而課本中一些簡單的習題，如能合理利用并加以變式，定能給學生形成強烈的腦風暴.這里以蘇教版必修5第106頁第17題為例作簡要的探討.

分析：教材中的這道題是一道經典的利用基本不等式求最值題，經過一輪的復習學生已經掌握兩種常見求解方法.

(方法一)利用消元法，轉化為求一元函數的最值(過程略).

方法二是借助“整式和”與“分式和”的關系，利用一次基本不等式達到求最值的目的，且“整式和”與“分式和”兩個整體只要知“一”便可求“一”.它是很多類似問題的題根.為便于說明，筆者借助下列變式加深對此類問題的理解.

分析：本題仍屬“整式和”與“分式和”關系的問題，對比題根發現，本題分式和的兩個分母較題根復雜，寫成了兩項和的形式，通過換元即可化歸為基本類型.

分析：本題條件以不等式形式出現，咋一看難度很大，若將其改為x+y=2,即化歸為變式2，再還原成不等式，利用不等式的傳遞性，即可求解.

上述教學設計片段是基于課本中的一道習題展開的，通過再現其常見的處理方法，迅速將學生的思維拉進“1”的代換這一配湊技巧，然后筆者遵循低起點、層層遞進的原則，設計了一系列變式題，引導學生解決這類問題要時時刻刻做到對題根的回頭看并及時消除解題差異，通過對條件和目標函數的轉化，化歸為基本類型，這樣的歷練過程對學生的思維無疑是有益的，遠比對著題目說本題考察了轉化和化歸的數學思想效果更好.因此，數學思想方法的滲透并不是直接告知的，而是在潛移默化中感受和形成的.

2.由習題優化解題方法

高考答題的最高境界是既快又準，也就是要優化解答，這除了靠平時的大量刷題外，還要進行解題反思，做好題目的歸類和小結.不妨讓我們把視線轉向教材，教材中的很多習題看似平淡無味，但如果認真研究便可衍生出許多有用的結論，利用這些結論便可秒殺各類考題.下面筆者以蘇教版必修4第89頁第12題為例進行說明.

圖1

本題的證明非常簡單，其幾何意義也是大家非常熟悉的(平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和).利用幾何意義證明更加直觀：

問題1如將上述①②兩式相減你會有怎樣的發現？

問題2你能給出極化恒等式的幾何解釋嗎？

問題3特別地，如將平行四邊形ABCD退化成ΔABD，你又能得出怎樣的結論，能給出幾何解釋嗎？

問題4你覺得使用該結論的關鍵是什么？

兩向量共起點是關鍵.

圖2 圖3

圖4

分析：由D是BC的中點并結合三個數量積的形式，直接可由極化恒等式切入得

上述教學設計是在一道簡單習題從“數”與“形”兩方面解決之后展開的，教師通過問題串的形式引導學生由淺入深進行探究，旨在培養學生發現和分析問題的能力.得出極化恒等式后教師并未急于進入例題講解，而是讓學生嘗試用自己的語言給出其幾何解釋，在大腦中先留下直觀的印象，為后續解題時進行模式識別做好準備.幾個例題梯度明顯，給出了不同背景下的公式運用，通過分析與求解使學生認識到向量數量積的求解除了常規的基底法和坐標法外，極化恒等式也是求解數量積的不二選擇，很多時候可“秒殺”一類模考和高考向量試題.整個設計并不是向學生灌輸高難度的解題技巧，而是教會學生如何選擇解題工具，如何理解數學問題的本質，從而有效地培養了學生的數學運算、直觀想象和邏輯推理等數學素養.

3.由習題滲透數學文化

《普通高中數學課程標準》明確指出：在高中數學課程的教學活動中，應當有意識的結合相應的教學內容，引導學生了解數學與人類發展的相互作用，體會數學的科學價值、人文價值和應用價值；在尋求數學發展歷史軌跡的過程中，激發學生數學創新的動力，提升學生的文化素養和科學精神.蘇教版《數學》教科書非常重視數學文化，在章首語、正文、閱讀材料、習題中均有體現.因此，在平時的教學過程中，我們可以以教材中的習題為載體，適時的向學生滲透數學文化，使學生在數學學習過程中體驗數學文化的魅力，促進學生核心素養的發展.接下來以蘇教版選修2-1第64頁練習4為例進行闡述.

例6 (題根)求平面內到兩定點(-2，0)，(1,0)的距離比等于2的動點M的軌跡方程.

問題1你能指出M點的軌跡嗎？

點M的軌跡是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓.

點M的軌跡仍然是圓.

問題3根據上述問題，你能將例6推廣成更加一般性的結論嗎？

類比問題1的解題方法進行求解.

上面這個圓就是大名鼎鼎的阿波羅尼斯圓，它是公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯在研究眾多平面軌跡問題時所發現的，簡稱阿氏圓，這個著名結果被收錄在《平面軌跡》一書中.阿波羅尼斯與歐幾里得和阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡.

我們知道阿氏圓涉及的要素有定點A、定點B、動點P到兩定點的距離之比及動點P的軌跡方程，剛剛我們由前三個要素求出了第四個要素，那么如果已知其中任意三個量能求出第四個量嗎？

問題5通過對阿氏圓四個要素的分析，類比問題4，你能給出其余的變式，并給予解答嗎？

學生們很快給出了其余兩種變式：

類比問題4的解題方法，學生們很快給出了解答,限于篇幅，這里就不做解答了.

上述教學設計是根據課本中的阿波羅尼斯圓問題延伸和拓展的，學生在建構阿波羅尼斯圓的同時，感受到了數學文化的熏陶，隨后，通過一系列變式和探究活動，讓學生加深了對阿氏圓本質的理解，同時學會了研究問題的一般方法，積累了數學活動經驗,從而有效的促進了數學核心素養的提升.隨著普通高中數學課程標準(2017年版)的出爐，數學的文化價值愈顯重要，它不僅出現在教材的習題中，在高考試卷中的比重也會越來越高，因此，在平時的數學教學中，教師要有意識地對學生進行數學文化的滲透，它不僅可以幫助學生理解和記憶所學知識，也是提高學生文化修養、落實核心素養的一條重要途徑.