對一道向量聯(lián)賽題的探究與感悟

福建省閩清教師進(jìn)修學(xué)校 (350800)

黃如炎

1.試題呈現(xiàn)

2.試題解析

圖1 圖2 圖3

圖4

圖5

圖6

3 變式推廣

由解析7可得：

圖7

由此可得：

還可得：

由此可得：

把三角形改為三棱錐同理可得：

4 解題感悟

以上通過多視角探尋解題方法，完全涵蓋了向量的基礎(chǔ)知識(如向量基本概念，向量線性運(yùn)算，向量數(shù)量積，向量基本定理和向量坐標(biāo)表示等)和基本技能(幾何法，基底法，坐標(biāo)法等)，發(fā)展了學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．解析1是通過特殊化立竿見影地獲取答案，體現(xiàn)了“普遍性寓于特殊性之中”．特殊情形的探究既得正確答案，又節(jié)省考試用時，有時還給一般問題的解決提供思路和借鑒的方法．解析2是根據(jù)向量加法的幾何意義和平幾知識，體現(xiàn)了向量既有幾何圖形的神韻，又有代數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)，是溝通代數(shù)、幾何的重要橋梁．解析3、解析4是用基底法和平面向量基本定理，體現(xiàn)了向量的本質(zhì)要素．解析5是坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)化，把對“形”的推證轉(zhuǎn)化為對“數(shù)”的運(yùn)算．幾何法、基底法、坐標(biāo)法體現(xiàn)了向量的本質(zhì)規(guī)律，是解決向量問題的基本方法．解析7通過聯(lián)想轉(zhuǎn)化和伸縮變換，利用三角形重心性質(zhì)巧妙快速求解問題，體現(xiàn)了向量是解決平面幾何的有力工具．此法直透本質(zhì)，可發(fā)現(xiàn)原命題的更一般形式及各種變式，成為本題最有價值的方法．

解題要力求一題多解、一題多變，達(dá)到一題多得．在各種方法中要根據(jù)問題的本質(zhì)規(guī)律選擇解題的通法，給學(xué)生解題的通道，從中形成和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．但不拘泥于通法，還要根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特征，探尋通法之外的解題蹊徑，期盼達(dá)到“曲徑通幽處，禪房花木深”之佳境，在探幽路上提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)理性思維和創(chuàng)新意識．