2019歐洲女子奧賽羅馬尼亞選拔賽試題的加強

福建省福清第三中學 (350315)

何 燈

試題已知a,b,c≥0且滿足b+c≤a+1，c+a≤b+1，a+b≤c+1，證明:a2+b2+c2≤2abc+1.

此題題設及待證不等式均為對稱，但限制條件較多且不常見，導致破解試題有一定的難度.宋慶老師在羅馬尼亞不等式論壇上給出試題的如下解答：

證明:由條件得a,b,c∈[0,1]，不妨設a=max{a,b,c}，則0≤a-bc≤(1+b)(1-c)，0≤a-bc≤(1+c)(1-b)，兩式相乘得(a-bc)2≤(1-b2)(1-c2)，展開可得a2+b2+c2≤2abc+1.

寥寥數行即將問題破解，足見宋老師功力.下面筆者給出試題的一個加強.

定理已知a,b,c≥0且滿足b+c≤a+1，c+a≤b+1，a+b≤c+1，則有a2+b2+c2+(1-a)(1-b)(1-c)≤2abc+1.