等距畫線，圖像分析
——例談含整體絕對值函數最值問題處理一法

浙江省安吉縣高級中學 (313300)

黃德麗

含絕對值的函數最值問題在近幾年一些省份高考中已成為一個熱點問題，浙江尤為明顯．粗看起來不外乎兩種類型：函數內嵌局部絕對值最值問題和函數的整體絕對值最值問題．但這兩類絕對值的函數最值問題處理起來，還是有很大差別的．從解決問題的本源方法來看，都要圍繞“去絕對號”做好文章．但對于函數的整體絕對值最值問題我們也可以根據“切比雪夫不等式的逼近原理”找到更加簡潔的處理辦法．

1．問題提出

2．多維思考

①若a≤4，則|5-a|+a=5恒成立；

圖1

雖然視角1的解釋簡潔明了，但遇到復雜的函數類型，比如含參過多則處理起來就不方便了．為了解決更多類型的含絕對值函數的最值問題，現擇取視角4的解釋進行拓展：從含單參的絕對值函數最大值問題推廣到含雙參的函數的最大值的最小值問題．

3．推廣重釋

已知函數f(x)=|g(x)-a|(a∈R)，其中g(x)是定義在閉區間[m,n]上的連續函數，且g(x)的最大值為g(x)max，g(x)的最小值為g(x)min．若f(x)的最大值為M(a)，求M(a)的最小值．

分析與論證：因為g(x)min-a≤g(x)-a≤

|(g(x)min-a)-(g(x)max-a)|≥|g(x)min-

顯然g(x)max=5，g(x)min=4．

4．教學反思

對于含參絕對值函數的最大值問題，處理起來基本上有三種途徑：

一是借助分類討論，去掉絕對號，化為分段函數探討．但它的使用范圍有限，適合解決比較特殊的函數(即圖像操作性強的函數)，使用起來有很大的局限性.(這是視角2的思想方法)

二是利用絕對值不等式或絕對值三角不等式(即||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)，結合最大值定義合理放縮，消元求解.(這是視角3的思想方法)

三是利用絕對值的幾何意義(即|a-b|表示數軸上a,b所對應的點之間的距離)，數形結合，借助幾何圖形直觀解決．(這是視角1和視角4的思想方法，但視角1解釋更加簡潔)

5．教學價值

上述推廣的結論可以處理很多更加復雜的含雙參的絕對值函數的最值問題．請看2015年高考浙江理科數學試題第18題：

已知函數f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值．

(Ⅰ)證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2；

(Ⅱ)當M(a,b)≤2，求|a|+|b|的最大值．

對于(Ⅱ)，則利用絕對值三角不等式考慮，在此不再贅述．

6．解題回味

再看2015年高考浙江理科數學試題第18題的第(Ⅰ)問，如果換個角度用“等距畫線，圖像分析”，就有不同的收獲與體驗．記g(x)=x2(-1≤x≤1)，則|f(x)|=|g(x)-(-ax-b)|．

圖2

一個好的教學問題能很好地激發我們研究的興致，并且我們可以從多個角度審視并解決它，我們教學不僅僅為了解題而解題，更需要通過有限的典型范例的學習去領悟那種解無限道題的數學機智，去培養和幫助我們的學生，讓學生領悟到更多的人生內涵，也能學到更多的智慧．