2018年天津卷理科第8題的多解與變式*

四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641112)

張 慶 胡 琳 劉成龍

一、試題及簡評

圖1

簡評：8題是考查向量和平面幾何交匯性的典型案例，具有一定難度、深度、廣度，呈現一系列亮點：構思巧妙，內涵豐富，解法多樣，富有探究性，對學生數學建模、邏輯推理等數學素養要求較高.總之，該試題是測評的好試題、研究的好問題.

二、試題的解法

視角一：模型化

數學模型是研究者依據研究目的，將所研究客觀事物的過程和現象的主要特征、主要關系，采用形式化的數學語言，概括或近似地表達出來的一種結構.[1]8題利用極化恒等式模型來解答直觀形象，不僅可以縮短思維過程，而且可以優化運算，分析如下：

圖2

圖3

評注：利用極化恒等式將向量的問題轉化成求線段長的平面幾何問題，這對于初中學習水平一般的學生來說都能給出正確解答.

視角二：解析法

解析法使得原先獨立的兩個數學分支—幾何和代數聯系到一起，使得代數的很多對象有了直觀的幾何解釋.同時，利用代數和分析的知識能較方便地解決幾何問題.[2]解析法是利用代數方法解決幾何問題的常規解法，難度低，易操作.

圖4

評注：利用解析法解答時，將幾何問題轉化成了代數問題，降低了問題的思維難度.順便指出，建系的方法很多，比如：以點A為坐標原點，DA、DC分別為x、y軸.

視角三：向量的基本運算

合理利用向量的分解來進行向量間的基本運算，可將向量的數量積轉化為關于單個向量的表達式.

圖5

評注：方法4、5通過向量的基本運算將數量積轉化為了關于某個變量的二次函數的最值問題，這與方法3有異曲同工之妙.

視角4：利用余弦定理

評注：解法6利用余弦定理將數量積關系最終轉化為二次函數最值問題，與方法3、4、5在落腳點上一致.

三、問題的變式

變式是指相對于某種范式，不斷變更問題情境或改變思維角度，使事物的非本質屬性時隱時現，而事物的本質屬性保持不變的變化方式.8題可以從多角度進行變式，如下：

評注：變式1、2立足點是第8題的解答方法.

評注：變式3是第8題的一個推廣.從第8題到變式3體現了特殊到一般的研究方法.