圓錐曲線最值問題處理策略

廣東省河源市河源中學 (517000)

黃偉才

圓錐曲線最值問題是全國卷高考中的一個考查熱點，其中弦長和面積最值問題最常見，題目綜合性強，難度大，全面考察了學生對圓錐曲線性質、一元(二元)函數值域求解和計算技巧等方面能力.為什么面對圓錐曲線的最值計算問題學生會如此恐懼？究其根源，一是計算能力的訓練不夠，二是計算技巧的把握還很欠缺，三是幾何關系和代數關系沒有能很好的進行合理轉化，四是函數值域處理能力欠缺，更重要的是由于時間有限，很多學生從內心就排斥這道題，甚至從未試圖計算出準確答案來！本文將對面積最值的問題主要類型和解決策略進行總結歸納，希望對讀者有幫助！

類型一 一元變量的面積最值

圖1

圖2

思維升華：這類一元變量最值問題，通常動直線是過定點斜率不定或截距變化斜率不變，如定點在x軸(y軸)且在橢圓內(外)，不管哪一種類型，都要恰當選擇直線點斜式方程避免分類討論，并合理選擇三角形面積公式進行割補等簡化運算，此外還要求熟練掌握換元法和配湊法等策略.

二、二元變量最值問題

圓錐曲線最值問題經過幾何問題代數化過程，有時根據條件需引入二元變量，這時往往需要學生有更強的計算能力，準確找到二元變量之間的關系，然后進行代入消元或整體換元，轉化成一元變量最值問題.

例2 (2016年新課標Ⅰ卷20)設圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.問：設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

(2)當l與x軸不垂直時，設l的方程為y=k(x-1)(k≠0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).由韋達定理得

思維升華：過焦點的弦長傾斜角式除了可以用直線參數方程推導，對于橢圓和雙曲線還可以結合焦點三角形，應用余弦定理和定義法推導，當然還可以應用第二定義建立方程推導.

圖3

變式4(2017新課標Ⅰ理10)已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1,l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A.16B.14C.12D.10

圓錐曲線最值問題，除了需要掌握常見弦長公式和聯立求最值方法，還需熟練掌握面積割補策略，弦長公式傾斜角式，點斜式的兩種設法，幾何性質等！當然某些問題也可以把橢圓仿射變換轉化為圓，然后利用圓的幾何性質去解決弦長和面積最值.