多思路解析一道三角函數(shù)條件最值題

湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué) (435200)

鄭偉和 鄒生書

這是一道以三角形為背景的二元三角函數(shù)條件最值問題，看似簡單做起來卻不容易，解題時(shí)思維受阻一波三折，對(duì)分析問題和解決問題能力的要求較高，本題具有一定的挑戰(zhàn)性.下面將筆者的解法與體會(huì)寫出來與大家交流分享.

1.構(gòu)造直角三角形走“形”的路線

如圖1，當(dāng)B為鈍角時(shí)，過點(diǎn)C作AB的垂線交AB的延長線于點(diǎn)D.

圖1

評(píng)注:本解法綜合性強(qiáng)，運(yùn)用了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，通過作高構(gòu)造直角三角形化一般為特殊，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形求解，最后運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理將問題轉(zhuǎn)化為三角形一邊為自變量的函數(shù)求最大值.

2.解斜三角形走“邊”的路線

3.運(yùn)用不等式走“角”的路線

注意這個(gè)引理中的不等式與柯西不等式不同，柯西不等式左邊是平方和而引理不等式左邊是平方差，再就是兩者不等號(hào)方向不同.下面用引理不等式走“角”之路線再解此題.

評(píng)注:對(duì)本解法而言引理不等式是問題解決的難點(diǎn)與關(guān)鍵.

4.巧用三角公式走“角”的路線求解