利用“特征函數(shù)”命制與求解數(shù)列問題

浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)駱駝中學(xué) (315202)

丁林蓬

1.初步感受利用特征函數(shù)在問題解決中的應(yīng)用

兩個問題中的第一個問題都是對于數(shù)學(xué)歸納法的考察，對(1)(ⅰ)1≤a1<2可設(shè)1≤an<2，易得1≤an+1<2；(2)(ⅰ)過程類似.

第二問解法比較多，具體如下(以(1)的第二小題為例).

圖1

設(shè)計意圖：這兩個問題的遞推關(guān)系中，數(shù)列相鄰項之間的關(guān)系相同.由于首項不相同，造成了數(shù)列在“有界性”和“單調(diào)性”上的大相徑庭.這一特征可以呈現(xiàn)如下：

從特征函數(shù)的圖像中不難看出，(1)與(2)兩個問題的差異，由于兩個數(shù)列的首項不同，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的單調(diào)性發(fā)生了改變.我們可以借助特征函數(shù)，快速觀察數(shù)列的“上界”與“下界”，從而輔助“作差法”證明單調(diào)性的過程.基于此，給出變式如下，

設(shè)計意圖：這一問題是在例1的基礎(chǔ)上，進一步觀察特征函數(shù)的特點.與例1(1)相比較，數(shù)列首相相同，相鄰兩項之間的關(guān)系不同，導(dǎo)致了數(shù)列“有界性”與“單調(diào)性”之間的差異.

圖2

從圖2容易看出，數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別具有自身的單調(diào)性與上、下界.其證明的過程，可以類比例1.

評析：以上從比較容易的一類遞推公式入手，借助“特征函數(shù)”認識了數(shù)列的有界性與單調(diào)性，得到了證明單調(diào)性的一般方法——1:通過特征函數(shù)觀察數(shù)列的上界與下界；2:數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的有界性；3:作差法求值域說明單調(diào)性.

2.從“點”、“線”、“面”的維度命制與解決問題

(1)猜想{a2n}的單調(diào)性，并給出證明；

圖3

設(shè)計意圖與解析：在初步形成了利用特征函數(shù)思考問題的習(xí)慣之后，我們可以從“數(shù)”與“形”兩個角度認識圖形，進而能夠從平面的構(gòu)成要素——點、線、面三個維度命制數(shù)學(xué)問題，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).

(2)是基于“線”這一維度命制的問題.

圖4

這個定理，可以有效的佐證命題的科學(xué)性.關(guān)于問題的解決，可以采用這樣的方法，

圖5

圖6

(3)是從“面”的維度命制的問題.如圖6所示，該不等式的含義是曲線下邊陰影部分(小矩形)面積之和小于曲邊梯形a1MCD的面積，由簡單的定積分知識可知，曲邊梯形的面積為

(1)猜想{a2n}的單調(diào)性，并給出證明；

(1)證明{an}的單調(diào)性；

評析：以上立足與數(shù)列的特征函數(shù)，從“點”、“線”、“面”三個維度觀察特征函數(shù)，命制一些具備思維量的數(shù)學(xué)問題.通過這樣的過程，筆者越發(fā)感受到了，所謂的命題，就是通過巧妙地手段將數(shù)學(xué)本質(zhì)“包裝”起來.所謂解題，就是通過表象的數(shù)學(xué)條件，將隱藏的數(shù)學(xué)本質(zhì)挖掘出來.

3.反思

正如，《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中弗賴登塔爾所說，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方式是‘再創(chuàng)造’”.在經(jīng)歷了用函數(shù)的思想處理遞推公式問題之后，筆者認為可以將函數(shù)思想進一步推廣至研究數(shù)列的通項公式，而得到形如下：

圖7

評析：圖7是借助函數(shù)思想分析這一問題的過程，本質(zhì)上如同例3(4)相同，是曲線下小矩形面積之和小于曲多邊形面積的問題，這里用到簡單的定積分知識命制題目.

數(shù)學(xué)學(xué)科有自身區(qū)別于其他學(xué)科的核心素養(yǎng)，作為一線的數(shù)學(xué)教師，要立足教材，訓(xùn)練學(xué)生的“四基”；高于書本，提升學(xué)生的“四能”；注重對數(shù)學(xué)習(xí)題的挖掘，適度探究，從而幫助學(xué)生實現(xiàn)“三會”(會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界)，全面地提升學(xué)生的核心素養(yǎng).