一道高考染色問題的創(chuàng)新解法及推廣

江西省宜豐中學(xué) (336300)

晏偉峰 曹宇淇

在高考題及全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽中常遇到不同的染色問題,許多染色問題的模型得以建立并得到了具體的求解公式.而在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，像2010年天津理科卷第10題這種類型的染色問題,學(xué)生由于不能正確地選好分類標(biāo)準(zhǔn)和優(yōu)化分類順序,盡管教學(xué)多遍效果甚微.在競(jìng)賽中也碰到過(guò)類似的問題,為了更好將此類染色問題模型化,構(gòu)造轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題,我們進(jìn)行了方法的創(chuàng)新及推廣,歡迎大家指正.

例(2010·天津10)如圖1,用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色,則不同的涂色方法共( ).

A．288種B．264種

C．240種D．168種

圖1

分析:由題意知圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色,可以根據(jù)所涂顏色的種類來(lái)分類：

當(dāng)B,D,E,F用四種顏色,B,D,E,F用三種顏色,B,D,E,F用兩種顏色,分別寫出涂色的方法,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．有老師給出過(guò)這題的五種證法,但均不能模型化這類染色問題,下面僅給出高考標(biāo)答中的解析.

解：∵圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色,可以根據(jù)所涂顏色的種類來(lái)分類：

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有24+192+48=264種不同的涂色方法．

點(diǎn)評(píng):本題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識(shí)與分類討論思想,屬于難題．天津卷中的排列、組合問題有幾年處于壓軸題的位置,且均考查了分類討論思想及排列、組合的基本方法,要加強(qiáng)分類討論思想的訓(xùn)練．

創(chuàng)新方法二：在文獻(xiàn)[1]中我們知道伯努利信封裝錯(cuò)問題中n封信全裝錯(cuò)的解法為

圖2

圖3

變題用五種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色,則不同的涂色方法共 種.

方法三：上述問題1中公式還不太完美,能不能有一種公式適合n≥3種顏色的情況？我們知道信封裝錯(cuò)問題的計(jì)算公式證明可以用容斥原理,因此我們直接用容斥原理可以推得更好的公式如下：

本文從高中數(shù)學(xué)中的分類討論思想和構(gòu)造轉(zhuǎn)化思想入手,借助容斥原理及信封裝錯(cuò)模型,很好的將高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)題材中的一類特殊染色問題模型化.