坐標系在初中數學中的應用研究

錢敏

【摘 要】坐標系中蘊含著相當豐富的數學文化，涉及到坐標系在歷史發展中所傳達的數學觀點、方法與思想。在初中數學知識體系中，坐標系與其它數學知識有著非常密切的聯系，將知識置于坐標系中進行探索與研究，將會顯得更加直觀、形象和具體，有助于學生的理解和掌握，實現全面發展。

【關鍵詞】坐標系；初中數學；學生

坐標系可分為直線坐標系和平面直角坐標系兩種，在初中數學中有著重要地位。教師可以以坐標系為核心構建思維導圖，這樣既能夠使學生全面掌握相應的數學知識，還可以提高他們的數學思維能力。而且在信息化教學環境下應用坐標系，教師可以借此豐富教學內容，引導學生直觀觀察到坐標系中圖形的動態變化，幫助他們快速掌握所學知識，靈活地解決生活中的實際問題，促進學生對所學知識的理解，拓展學生的思維，構建高效的初中數學課堂。

一、利用坐標系，解決數軸問題

數軸屬于有理數這一章節的重要知識點，把抽象的實數和具體的數在數軸上相應的點整合在一起，應用數軸直觀的表示數，計算關于有理數的數學問題，有利于學生更好地理解相關概念。因此，初中數學教師可以應用直線坐標系解決常見的基礎性數軸問題，包括利用數軸表示點、比較大小、理解相反數、絕對值和求最值等，將抽象問題變得具體形象。

例如，在學習數軸時設置題目：①數軸上點A的位置如圖所示，那么點A表示的相反數是____。

解析：本題主要考察利用數軸表示點和理解相反數，根據上圖得知點A所表示的數是-2，結合相反數的定義能夠得出-2的相反數是+2。

②點N、M、P、Q在數軸上的位置如圖所示，那么這4個點中對應數的絕對值最大的點是____，最小的點是____。

解析：本題主要考察應用數軸比較數的大小，以及對絕對值概念的理解。學生通過對數軸上N、M、P、Q這4個點的觀察，結合絕對值越大表示點與原點的距離越遠，能夠清晰觀察到點Q距離原點最遠，即點Q的絕對值最大；同理，點P距離原點最近，那么絕對值最小的是點P。

上述案例，在解決用數軸表示點、理解相反數，比較大小和理解絕對值等基礎性問題時，通過對直線坐標系的應用，能夠將題目內容清晰地呈現出來，幫助學生降低學習的難度，更加扎實地掌握數學知識。

二、運用坐標系，解決實際問題

坐標系這一特殊工具，能夠貫穿數學學習的始終，是聯系數和形的紐帶，而且在實際生活中有著廣泛的運用。學習數學知識的目的主要是為現實生活提供服務，解決一些實際性問題。在初中數學教學中，教師可以借助直線坐標系，指導學生解決一些生活話問題，培養他們的知識應用意識和能力，在直觀表示有理數的活動中獲得成功體驗，激發學生積極的數學學習情感，為后續學習數學奠定堅實的基礎。

例如，一輛貨車從倉庫出發為汽車修理店送貨，先向東行駛8千米到達修理店A，之后向西行駛3.5千米到達汽車修理店B，繼續向西行駛7.5千米達到修理店C，最后回到倉庫。（1）向東用正方向表示，每個單位長度表示1千米，在數軸上找出修理店A、B、C的位置；（2）修理店C距離B多遠？（3）該輛貨車的行程是多少千米？解析：該道題目考察學生借助數軸解決實際問題的能力，（1）通過數軸將三個修理店A、B、C的位置標出，如圖：

（2）根據數軸能夠得知修理店B和修理店C之間的距離為：4.5-（-3）=4.5+3=7.5（千米）。（3）貨車一共行駛|8|+|-3.5|+|-7.5|+|3|=22（千米）。

如此，學生借助直線坐標系，能夠清晰地看到三個修理店之間的位置關系，及貨車的實際行程，將問題變得異常簡單化和具體化，再結合絕對值知識順利解決題目中的問題。

三、巧用坐標系，解決圖形問題

平面直角坐標系作為一個數學工具，能夠幫助學生很好地研究圖形性質與位置問題，幫助他們進一步掌握數形結合的思想。而且在中考或模擬測試中，通常利用數軸和平面直角坐標系考察學生對圖形知識的掌握情況。初中數學教師在具體的教學實踐中，可通過平面直角坐標系解決圖形變化問題，將部分圖形問題放在坐標系中思考，將會降低問題難度。

例如，如圖所示：已知點A（-2，3）、B（4，3）、C（-1，-3）。（1）求點C和x軸之間的距離；（2）求三角形ABC的面積；（3）點P在y軸上，當△ABP的面積是6時，求點P的坐標。

解析：（1）運用坐標點的意義求點C和x軸之間的距離，因為點C的坐標是（-1，-3），所以|-3|=3，即點C和x之間的距離是3。（2）根據點A、B、C的坐標得知AB=4-（-2）=6，點C距邊AB為3-（-3）=6，則△ABC的面積為6×6÷2=18。（3）設點P為（0，y），由于△ABP的面積是6，結合點A、B坐標得出 ×6×|x-3|=6，x=5或x=1，則點P為（0，5）或（0，1）。

在上述案例中，學生利用平面直角坐標系解決圖形性質與位置問題，把圖形放在平面直角坐標系中思考和分析，將會有效降低題目難度，再搭配三角形面積公式解決問題，不斷提升學生思維的靈活性和深刻性。

四、活用坐標系，解決函數問題

在初中數學教學過程中，函數是相當重要的構成部分，其中一次函數、反比例函數、二次函數的學習均需要平面直角坐標系的輔助，尤其是一些綜合性函數問題難度較大，圖像比較復雜，涉及到兩種或兩種以上的函數知識。對此，教師需善于借助平面直角坐標系的優勢，指導學生分析和研究綜合性函數圖像問題，使其快速、高效解決函數問題。

例如，如圖：已知點A（4，0）、B（1，3）在拋物線y=ax +bx上，點B、C關于拋物線的對稱軸對稱，經點B作BH⊥x軸于H。（1）求點C的坐標和△ABC的面積；（2）拋物線上有一動點P在第四象限，當△ABP的面積是6時，求點P坐標。

解析：（1）將點A、B代入拋物線表達式中得出16a+4b=0，a+b=3，則a=-1，b=4，拋物線表達式是y=-x +4x，點C的坐標是（3，3）。根據題意得知BC=2，S = ×2×3=3。（2）過點P作輔助線PD⊥B于D，設點P（a，-a +4a），則BH=AH=3，HD=a -4a，PD=m-1，S =S +S -S ，將各個數值代入得出m=0（舍去）或m=5，所以點P的坐標是（5，-5）。

在初中數學課堂教學中，學生學習函數知識離不開平面直角坐標系的輔助。學生借助平面直角坐標系，分析綜合性問題，涉及到拋物線、對稱軸、圖形面積等知識，可以把復雜化、抽象化的問題變得簡單化和具體化，從而降低解題的難度，最終求出正確答案，深層次地領悟函數的意義。

總之，在初中數學教學活動中，不少數形結合類題目都能運用到坐標系，在解答此類題目時，學生需要明白考查范圍和知識點，根據題目畫出或分析相應的坐標系，促使他們順利解答數學問題，不斷提升他們的數學綜合能力，實現可持續發展。

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