對一道初中數學壓軸題的解讀

魏建軍

中考壓軸題涉及了很多的知識點，也蘊含非常豐富的數學思想方法，更滲透了眾多的數學解題技巧，最能體現學生知識整合與運用、問題分析與解決能力.

2009年十堰市中考數學壓軸題是這樣的：

如圖1所示，已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（-3，0），與y軸交于點C.（1）求拋物線的解析式.（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由.（3）如圖2所示，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標.

從解題過程看，該題蘊涵的數學思想方法如下：

1.數形結合思想方法.此題第（1）問的方法是把圖形上的點的坐標代入函數表達式，求出未知的系數或表達式，這是由“形”得“數”的結論.第（2）問由△CMP為等腰三角形在拋物線對稱軸上尋求一點滿足條件.可以確定在CM，CP，PM三條線段中腰與底的問題，運用直角三角形勾股定理及等腰三角形的性質解決此問題.第（3）問的方法①根據E點坐標（x，-x2-2x+3）求出線段EF，FO，BF，進而用含x的代數式表示四邊形BOCE的面積，求出x的值，是由“數”得“形”的結論.

2.化歸思想方法.此題第（3）問求一般四邊形BOCE的面積的最大值，其方法①或②中均采用了將其轉化為三角形面積與梯形面積之和來解決，將不規則圖形面積通過化歸思想轉化為特殊圖形的面積和.

3.分類討論思想方法.此題第（2）問在探索拋物線上對稱軸是否存在一點P，使△CPM為等腰三角形中，學生須多個角度分析找準△CPM的三邊CP，CM，PM中哪條為腰，哪條為底，由等腰三角形定義可探究出以CM，CP為腰或以CM，MP為腰或以PM，CP為腰三種情況來考慮問，體現了分類討論思想.

4.數學建模思想方法.此題第（3）問求四邊形BOCE的面積的最大值，其方法①根據E點坐標（x，-x2-2x+3）求線段EF，OF，BF，用含x的代數式表示四邊形BOCE的面積，從而構建S與x的二次函數，進而運用配方法及二次函數性質解決問題，方法②將四邊形BOCE面積轉化為△BEC和△BOC面積之和，由于S△BOC是定值，所以要使四邊形BOCE面積最大，須使△BEC最大，使△BCE的邊BC上的高最大即可，分析得出E點在與BC平行且與y=-x2-2x+3有唯一交點的直線上，從而構建得出直線EG方程與拋物線y=-x2-2x+3的二元二次方程組，進而轉化為一元二次方程，并利用判別式解決，這樣的建模思維可使問題的解決更直觀.

該壓軸題包羅了全部的數學思想方法，認真分析此題不僅能體會各種思想方法之間的聯系，而且能學習到各種思想方法在解題中的運用技巧.因此，作為數學教師應當重視一題多變、一題多解的教學，重視數學思想方法的滲透，提高分析問題和解決問題的能力.