分類討論思想在初中代數教學中的應用研究

摘? ?要：《義務教育數學課程標準》指出：數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。分類討論思想是初中數學教學中的一種極為重要的思想。本文在教學實踐的基礎上以初中代數教學為切入口，對分類討論思想在絕對值、冪為1、平方根、行程問題、含參不等式、方程、中位數及函數教學中的應用等方面進行研究，以期培養學生的數學核心素養，提高學生分析和解決數學問題的能力。

關鍵詞：分類討論;不確定;應用;能力

作者簡介：童海燕，浙江省杭州市臨安區昌南初級中學教師。（浙江? 杭州? 311321）

中圖分類號：G633.62? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：1671-0568（2019）07-0059-04

分類討論既是一種重要的數學思想，又是一種有效的解題方法。運用分類討論思想不僅在解決問題的邏輯上具有優勢，而且有利于促進學生學習能力的培養及思維嚴謹性的提升。如果教師在初中數學教學中注重和加強分類討論思想的滲透、訓練、反思和鞏固，使學生養成全面考慮問題的良好習慣，就有助于學生更加深刻地認識和理解數學知識，培養學生的數學核心素養。分類討論思想在初中代數、幾何以及代數與幾何的綜合題中均有著廣泛的應用，本文主要是對分類討論思想在初中代數教學中的應用進行探討。

當被研究的對象存在不確定性而又無法進行統一研究時，就需要制定一個合理的標準，將需要研究的對象進行分類，然后對每一種可能性逐一研究得出結果，最后通過篩選歸納整理出所有的正確結論，這種思想方法被稱為分類討論思想。用這種思想方法解題主要包括化整為零、歸納整理和積零為整三個步驟。首先思考為什么要分類，然后制定出合理的分類標準，根據不確定因素將題目中的條件分為若干情況并對其進行逐個擊破，最后歸納整理得出結論。

一、分類討論思想在平方根教學中的應用

大多數學生都知道：一個正數有正、負兩個平方根，它們互為相反數。然而，學生在解題時往往因不能正確運用平方根的性質而導致解錯。

例1：若一個正數m的平方根是2a+4與5+a，求a與m的值分別是多少。

分析：根據平方根的性質可以發現本題有兩種情況：①2a+4=5+a，解得a=1，則m=36;②2a+4與5+a互為相反數，即（2a+4）+（5+a）=0，解得a=-3，則m=4。

反思：如果告訴我們一個正數的兩個平方根是含有字母的代數式，解這類題之前教師可以引導學生先回顧平方根的概念和性質再進行分類討論，而分類標準是這兩個數可能是相等的，也可能是互為相反數。

二、分類討論思想在絕對值教學中的應用

1. 對于絕對值的化簡問題，學生往往會因為沒有理解它的代數意義而導致漏解甚至理不清解題思路。

例2：化簡|a+1| + |a-3| +|a-4|。

分析：首先，要根據絕對值的代數意義把絕對值的符號去掉。解題時教師可以先引導學生回顧知識點：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零。由于a的大小不確定，無法判斷絕對值符號內的代數式的正負，因此必須先對a的取值范圍進行分類討論。教師可以引導學生先從特殊情況出發，根據使每個絕對值內的代數式為零的a的取值進行分類：當|a+1|=0時，a=-1;當|a-3|=0時，a=3;當|a-4|=0時，a=4。這樣就可以把a的取值范圍分為四個部分，在數軸上可表示為如圖1所示，然后根據a的不同取值范圍分別判斷出絕對值符號內代數式的正負，最后再去掉絕對值進行化簡。

當a<-1時，原式=-a-1-a+3-a+4=-3a+6;當-1≤a<3時，原式=a+1-a+3-a+4=-a+8;當3≤a<4時，原式=a+1+a-3-a+4=a+2;當a>4時，原式=a+1+a-3+a-4=3a-6。

反思：對于絕對值符號內代數式的正負性不確定的化簡問題，要利用從特殊到一般的方法對a的取值進行分類討論，然后去掉絕對值進行加減運算達到化簡的目的。

2. |a-b|的幾何意義是在數軸上表示a的點到表示b的點的距離。

例3：求方程|x-1|=3的解。

分析：很多學生一看到題目就搶答：x=4。師：對嗎？他們又開始思考。這時教師可啟發學生先思考它的幾何意義，然后引導他們畫出數軸，學生在畫圖的過程中借助數形結合思想就不難發現在數軸上到表示1的點距離等于3的點在1的左右兩邊各有1個，如圖2所示分別是-2和4。

反思：對于這類題型，學生首先要勤畫數軸，再根據絕對值的幾何意義以及數軸上兩點間距離的雙向性進行分類討論，最后得出正確答案。教師可再設計一個鞏固練習：求方程|2a-6|=8的解，以加強學生對分類討論思想的應用和發展。

三、分類討論思想在冪為1的教學中的應用

在學習同底數冪的除法（3.6章節第2講）時，教材上規定了零指數冪的意義，那么冪為1的情況就有3種：①指數為0，且底數不為0;②底數為1;③底數為-1，且指數為偶數。

例4 ：已知（2x - 5）x+3=1，求x的值。

分析：（1）當x+3=0時，x=-3，此時2x-5=-11≠0，（-11）0=1;

（2）當2x-5=1時，由于1的任何次冪都為1，故（2x-5）x+3=1，解得x=3;

（3）當2x-5=-1時，x=2，此時x+3=5，因為（-1）5=-1，所以x=2舍去;

綜上所述，當x=-3或x=3時（2x-5）x+3=1。

反思：學生需要明白解此類題目要分類的原因是因為冪為1有3種情況，它具有不確定性，其次需檢查分類是否全面，最后要根據實際情況對所求得的結論進行篩選。如：指數為0時要檢查底數是否為0，因為0的0次冪沒有意義;底數為-1時要檢查指數是否為偶數，因為-1的奇次冪為-1;而底數為1時，因為1的任何次冪均為1，所以此時只要檢查所列方程有無解錯即可。

四、分類討論思想在行程問題中的應用

例5：A、B兩地相距48千米，星期六上午7∶00小慧騎自行車從A地出發去B地，1小時后，小聰騎摩托車沿同一路線也從A地出發去B地，他們行駛的路程S（千米）與小慧行駛的時間t（小時）之間的函數關系如圖3所示。則小聰行駛? ? ?時的時候，兩人相距4千米。

分析：根據圖示計算出小慧的行駛速度為16千米/小時，小聰的行駛速度為32千米/小時。因小慧比小聰早出發1小時，因此兩人相距4千米則可能是小聰追上小慧之前，也有可能是小聰追上小慧之后，所以需要進行分類討論。相遇前，可畫如圖4所示的線段示意圖：S小慧-S小聰=4，根據之前的分析，設小聰行駛t小時后，兩人相距4千米，由S小聰=32t，S小慧=16（t+1），可列出方程16（t+1）-32t=4，解得t=0.75。 相遇后，可畫如圖5所示的線段示意圖：

S小聰-S小慧=4，同樣可以列出方程32t-16（t+1）=4，解得t=1.25。

反思：解這類題時，教師要指導學生先根據已知條件畫出線段示意圖，然后根據等量關系列出方程，這樣不僅有利于培養學生的動手能力，還有利于學生養成全面考慮問題的習慣，以免漏解。另外，這類題也可用公式“追及時間=追及路程÷速度差”來解決。

五、分類討論思想在方程中的應用

含參方程在數學課程標準、八年級下冊課本及中考命題細則中都有很明確的知識和能力要求，但學生在解決此類問題時往往會因考慮不全面而造成漏解。

例6：關于x的方程（m+3）x2+（2m-1）x+m-3=0有實數根，求m的取值范圍。

反思：雖然這兩種解法都運用了根的判別式，最終答案也一樣，但第二種方法對二次項系數是否為零進行了討論，相比較而言，很顯然運用第二種解法的學生對所學知識理解得更為透徹。實際上題目條件中的“方程”就是一個不確定因素，故解這類題時要求學生仔細審題，以免漏解一元一次方程的情況。為了更好地掌握，教師可問：如何將題中的條件稍作改變第一種解法就對了？在函數中也有類似的問題嗎？

六、分類討論思想在含參不等式中的應用

例7：關于x的不等式組x-a>01-2x>x-5無解，求a的取值范圍。

分析：學生在解這類題目時，往往是根據解一元一次不等式組的步驟先解出各個不等式：①x>a，②x<2，再根據確定不等式組解的口訣“大大小小題無解”得出a>2。事實上，學生如果能借助數軸如圖6和圖7所示，就會發現數軸上表示2和a的兩個點都是不包括的，所以當a=2時，原不等式組還是無解，故a≥2。

反思：學生在解這類題時，常常由于不能全面分析問題而導致錯誤，筆者認為其主要原是因為學生不清楚不等式組產生有解還是無解的條件。因此，教師要指導學生遇到解含參不等式時要借助數軸利用數形結合思想來幫助解題，以防漏解。為了使學生能更好地掌握此方法，教師還可以將原題變式后再讓學生來解，以提高學生分析和解決問題的能力，促進數學核心素養的培養。如將原不等式有解改成無解，求a的取值范圍。

七、分類討論思想在中位數教學中的應用

在學習中位數時，我們會碰到一組數由于某個數據的大小不確定而引起中位數不確定的分類討論題。如果要確定一組數據的中位數，必須先把這組數據按從小到大或從大到小的順序排列，若數據個數為奇數個，則中位數為排列后最中間的這個數;若數據個數為偶數個，則中位數為排列后最中間的這兩個數的平均數，然而學生在解題時往往會根據已給數據的位置直接來確定中位數而導致錯誤。

例8：在一組數據3、4、6中加入一個數m，使得平均數與中位數相同，求m的值。

反思：解這類題時，教師可以指導學生先將數據按順序重新排列，然后分析m所處的位置有幾種不重不漏的情況，再根據m的不同取值范圍分別求出各個中位數的值或所表示的代數式，最后由題意列出方程并求解，這樣有助于提高學生的數據分析能力和數學核心素養。

八、分類討論思想在函數教學中的應用

例9：已知一次函數y=kx+b，當-1≤x≤4時，所對應的函數y的值為-8≤y≤7，求這個一次函數的解析式。

分析：很多學生在解這道題時，直接把x=-1時y=-8，x=4時y=7分別代入y=kx+b，得到方程組-k+b=-84k+b=7，解得k=3b=-5，故所求解析式為y=3x-5。學生匆忙審題后急于求解，并沒有真正理解題目的條件與問題，更挖掘不出潛在的分類討論思想。這類學生是默認此題為遞增函數即當k>0時來解的，然而事實上K值是不確定的，所以必須根據K的正負來進行分類討論。當k>0時，y隨x的增大而增大，函數圖像經過（-1，-8）和（4，7）的兩個點，再利用待定系數法求出函數解析式為y=3x-5。當k<0時，y隨x的增大而減小，則函數圖像經過（-1，7）和（4，-8）的兩個點，同理可以求出k=-3，b=4，故所求解析式為y=-3x+4，最后歸納整理出結論。

反思：求一次函數的解析式必須先知道圖像經過的兩個點，如果這兩個點不能確定，那么就需要制定一個合適的分類標準。一次函數中K值往往不確定，所以教師要指導學生多利用函數的增減性來進行分類討論，還要引導學生多畫圖，通過畫圖就會容易發現圖形有多種情況。教學中若能把數形結合和分類討論思想有效地結合起來，則更有助于學生分析和解決問題。

例10：當0≤x≤3時，求二次函數y=x2-2x的最值。

分析：因二次項系數1>0，圖像開口向上，所以很多學生看到這道題目的第一反應就是先把這個二次函數用代公式或配方的方法：如根據y=x2-2x=（x-1）2-1求出這個函數的最小值為-1，但無最大值。另外還有些同學則直接將x=0和x=3分別代入函數解析式，求得函數值分別為0和3就得出結論：二次函數y=x2-2x有最小值0，最大值3。顯然這兩位學生的解法都是錯誤的。第一種解法只有在自變量的取值范圍不受限制的時候才適用，而第二種解法則只有在所取自變量在對稱軸的同側時才適用。

反思：解此類題時教師要啟發學生多畫圖，如圖8所示，利用數形結合思想不僅可以培養學生的動手能力，還可以輕松而又準確地解決此問題：最小值-1，最大值3。當已知二次函數自變量的取值范圍求最值時，需要進行分類討論：如果頂點的橫坐標在這個范圍內，那么頂點的縱坐標即為其中的一個最值，到底是最大值還是最小值則由二次項系數的正負決定;如果頂點的橫坐標不在這個范圍內，那么兩個端點的縱坐標即為此函數的兩個最值。

筆者經過多年的教學實踐，發現加強和注重數學思想方法的教學能減少學生盲目探索的過程，能讓學生從毫無目的的學習狀態轉化到有目的性的學習狀態，提高學生的學習效率。而合理運用分類討論思想有利于培養學生的邏輯推理能力和思維的嚴謹性。筆者從近幾年的數學中考試題中發現，命題者越來越注重分類討論思想的應用與考查，所以教師在平時的數學教學中一定要注重和加強分類討論思想的滲透和應用。但在運用分類討論思想解決數學問題時要注意以下幾點：首先只有在問題的條件或結論不確定時才能用;其次，分類標準一定要統一，要做到不重不漏，逐類求解;再次，分類討論之后要對結論進行篩選和歸納;最后要明白分類討論思想不是獨立存在的，它經常需要結合其他的數學思想方法才能更加有效地解決難題，提高學生分析問題和解決問題的能力。

參考文獻：

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責任編輯? ?張慶曉