例談?dòng)弥本€參數(shù)方程解決一類弦長(zhǎng)問題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)

侯斐斐

摘 要：參數(shù)方程的內(nèi)容，在高考全國(guó)卷Ⅱ中以選作題的形式，出現(xiàn)在第22題中，而直線的參數(shù)方程更是常考的考點(diǎn)，如果題目涉及直線的參數(shù)方程，則會(huì)考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，以例題展開，以糾偏的方式讓學(xué)生掌握直線參數(shù)方程的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：直線；參數(shù)方程；弦長(zhǎng)問題；韋達(dá)定理

運(yùn)用直線的參數(shù)方程解決問題時(shí)，如果不注意參數(shù)的幾何意義，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，本文從例題（臨夏中學(xué)高三年級(jí)2018—2019學(xué)年度第一學(xué)期期中考試?yán)砜凭?2題）展開分析直線的參數(shù)方程，讓同學(xué)們從另一個(gè)角度去認(rèn)識(shí)直線參數(shù)方程在解決弦長(zhǎng)問題中的應(yīng)用，以更好地理解和掌握直線參數(shù)方程的本質(zhì).

例題：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為x=-ty=1+ t（t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ-2 cosθ.

（1）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線C1與曲線C2相交于A，B兩點(diǎn)，求AB.

解法一：（1）將曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程為y=-1- x，即 x+y+1=0.

C2：ρ=2sinθ-2 ρcosθ，因?yàn)棣?=x2+y2，ρ=sinθ=y，ρcosθ=x.

所以C2的極坐標(biāo)方程化為直角方程為x2+2 x+y2-2y=0.

（3）由（1）可知曲線C2直角坐標(biāo)方程為x2+2 x+y2-2y=0，故C2是圓心坐標(biāo)為（- ，1），半徑為2的圓.

因?yàn)辄c(diǎn)（- ，1）到直線 x+y+1=0的距離為d= =

所以AB=2 =2 = .

解法二：聯(lián)立方程，用兩點(diǎn)間的距離公式或弦長(zhǎng)公式求得AB.此解法省略，因?yàn)楸疚闹兄饕懻摰氖侵本€的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義.

解法三（錯(cuò)解）：將x=-ty=-1+ t代入得x2+2 x+y2-2y=0得 （-t）2+2 （-t）+（-1+ t）2-2（-1+ t）=0，整理得4t2-6 t+3=0，

由韋達(dá)定理得t1+t2= ，t1·t2= .

所以，AB=t1-t2= = = .

解法四（正解）：由y=-1- x得tanα=- ，所以sinα= ，cosα=- ，又因?yàn)镃1過（0，-1），所以C1的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為x=- -ty=-1+ t（t為參數(shù)）.

將x=- ty=-1+ t代入x2+2 x+y2-2y=0

得（- t）2+2 （- t）+（-1+ t）2-2（-1+ t）=0，

整理得t2-3 t+3=0，由韋達(dá)定理得，t1+t2=3 ，t1·t2=3.

所以，AB=t1-t2= = = .

解題回顧與反思

由（1）可知，C1表示直線，C2表示圓，而（2）求AB，即直線與圓相交的弦長(zhǎng)問題，出現(xiàn)的最多的解法是解法一，也出現(xiàn)了少數(shù)解法三（錯(cuò)解）的形式，在試卷講評(píng)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生將上述解法一、解法二、解法三（錯(cuò)解）和解法四（正解），在課堂上逐一做了講評(píng)，讓學(xué)生對(duì)直線參數(shù)方程的認(rèn)識(shí)逐漸成熟起來.

解法三（錯(cuò)解）是用參數(shù)解決弦長(zhǎng)問題，看起來，過程推理嚴(yán)密，但是解題過程所用的參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，這里的參數(shù)沒有幾何意義，導(dǎo)致整個(gè)解題過程是錯(cuò)誤的.

解法四（正解）是選用參數(shù)解決弦長(zhǎng)問題，在這里先求參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，讓參數(shù)方程中的參數(shù)有它的幾何意義，才使得整個(gè)解題過程朝一個(gè)正確的方向進(jìn)行.

顯然，學(xué)生在應(yīng)用的時(shí)候易犯形如解法三（錯(cuò)解）的錯(cuò)誤，不考慮直線的參數(shù)方程是否為標(biāo)準(zhǔn)形式，直接求解.

反思1：在文中提到的兩種解法中，顯然解法一更簡(jiǎn)潔，更易懂.對(duì)于圓與直線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題，是學(xué)生熟知的題目，解法一也是這一類題目最常規(guī)最簡(jiǎn)單的解法.

反思2：既然解法一是學(xué)生孰知的題型，那么緊跟解法三（錯(cuò)解）的結(jié)果和解法一不一樣時(shí)，學(xué)生就會(huì)自然而然地質(zhì)疑解法三（錯(cuò)解），并尋找錯(cuò)誤的原因，會(huì)自己發(fā)現(xiàn)直線的參數(shù)方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，找出錯(cuò)誤的根本原因是將其當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)形式直接求解，才導(dǎo)致錯(cuò)解，在尋找問題、自主糾偏后，就會(huì)順其自然地得到解法四（正解）.這一過程不但夯實(shí)了學(xué)生的解題基礎(chǔ)，還會(huì)防止學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中遇到類似問題時(shí)出現(xiàn)類似錯(cuò)誤.

反思3：在自主糾偏后，學(xué)生會(huì)對(duì)直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，以及標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)的幾何意義有再認(rèn)知的過程，對(duì)于用直線的參數(shù)來求弦長(zhǎng)問題有了更好的把握.

羅增儒教授說：“平時(shí)解題是一種認(rèn)識(shí)活動(dòng)，是對(duì)知識(shí)（概念、定理）的繼續(xù)學(xué)習(xí)，是對(duì)方程的繼續(xù)熟練，是在發(fā)生數(shù)學(xué)和掌握數(shù)學(xué)”，而這道題的解法四（正解）出現(xiàn)在這里，讓學(xué)生對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義有繼續(xù)學(xué)習(xí)、再認(rèn)知的價(jià)值.

反思4：在解法四（正解）完成后，可以更改題目中的條件，若將題目中做改動(dòng)，將圓改成橢圓或者雙曲線，這時(shí)候，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)解法一是行不通的，而解法四中的參數(shù)方程的思想用在這里，思路是可以打通的，這時(shí)候解題思路就會(huì)在學(xué)生大腦中初步形成.

反思5：學(xué)生經(jīng)歷的解題體驗(yàn)更為寶貴，對(duì)于圓和直線相交的弦長(zhǎng)問題的解決方法、一般的圓錐曲線與直線相交的弦長(zhǎng)問題的解決方法以及直線的參數(shù)方程應(yīng)用不當(dāng)（非標(biāo)準(zhǔn)形式）會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)解，這一系列的方法與問題會(huì)在學(xué)生的大腦中構(gòu)成記憶存儲(chǔ)，也會(huì)培養(yǎng)學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)感，以備學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中再遇到這種題型時(shí)，迅速地做出模式識(shí)別以及解題策略以及多易錯(cuò)點(diǎn)的防范.解題主要靠經(jīng)驗(yàn)因素（經(jīng)驗(yàn)題感），在長(zhǎng)期的解題時(shí)間中通過長(zhǎng)期的積累，都能形成可借鑒作用的經(jīng)驗(yàn)或磨石，解題經(jīng)驗(yàn)就好像是建筑上的預(yù)制構(gòu)件，遇到合適的場(chǎng)合，可以原封不動(dòng)地把它用上模式識(shí)別.

本文以一道考題展開，先是給出最簡(jiǎn)潔的方法（解法一），后將題目中條件通過改變（將圓的方程變?yōu)闄E圓或者雙曲線），引導(dǎo)學(xué)生得出更普遍的方法，即解法二和解法三，目的是讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，更好地理解和掌握直線參數(shù)方程的本質(zhì)，并能正確地應(yīng)用直線的參數(shù)方程解決問題.

參考文獻(xiàn)：

羅增儒，孟祥禮.高考數(shù)學(xué)萬能解題法[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2015-09.

編輯 杜元元