《用二分法求方程的近似解》教學設計

曾國文

一、教材分析

本節課關注學生最近發展區，從具體到一般去分析方程的根與對應函數零點之間的關系，再通過實例介紹求零點近似值的“二分法”，滲透“二分法”蘊含豐富的算法思想，為算法學習做鋪墊。另教材中還希望學生受到數學文化熏陶，培養學生對數學學科興趣，產生探索欲望，推動數學的前進與發展，因此還介紹古今中外數學家在方程求解方面所取的成就及貢獻。

二、教學目標

1.知識目標：通過實例讓學生觀察、感悟、體會、理解二分法的概念及二分法定義。

2.能力目標：借助現代化的信息技術，能用二分法求方程的近似解。

3.情感目標：體會逼近過程，深化數形結合、函數與方程等重要數學思想方法的認識，感受從特殊到一般這種嚴謹的探索新知識方法的價值。

三、教學重點、難點

重點：通過用二分法求方程的近似解，體會函數的零點與方程根的內在聯系。

難點：靈活運用二分法求給定精確度的方程（超越方程）的近似解。

四、教學方法

合作探究、知識拓展等。

五、教學過程

（一）復習回顧，有效引入

1.復習：（1）函數零點的定義；（2）判斷函數零點所在區間的方法（零點存在定理）。

練習：求下列函數的零點：（1）f（x）=3x-4；（2）f（x）=x2-3x+2。

2.引入：我們之前能求解一元一次方程、一元二次方程等，那若碰到f（x）=lnx+2x-6這樣的函數，則應怎樣求解它的零點呢？

分析：上節課利用判斷函數零點所在區間的方法判斷出函數零點的大致區間是（2，3），原因是，f（2）<0，f（3）>0，怎樣把區間逐步縮小呢？

（二）科學探索，真知發現

1.先看一個具體實例：假若在某城市的A地到B地，距離2000米的路段發生電路故障，現派一名電工進行修理，問：電工應采用什么方法能快速準確找到這個故障點？

甲組：沿路進行檢測；

乙組：每隔50米檢測一次，找到所在范圍再沿路檢測；

丙組：先找中點的位置，對兩邊進行測量，確定一側之后再取中點，不斷地測量下去；

經過共同分析探討，發現丙組同學的方法是最快的，把這樣的思想稱為二分法。

2.進一步思考：怎么用二分法求解f（x）的零點呢？這個零點是精確值還是近似解？

我們發現可以用判斷零點所在區間的方法判斷，逐步縮小零點所在區間，得到近似解，為了不無限算下去，我們規定一個精確度，只要區間長度小于精確度，那計算就可停止。

3.求解f（x）=lnx+2x-6零點的過程：

第1步：?。?，3）的中點2.5，計算得f（2.5）≈-0.084。

∵f（2.5）<0，f（3）>0，∴f（2.5）·f（3）<0∴零點在內（2.5，3）內。

第2步：?。?.5，3）的中點2.75，計算得f（2.5）≈0.512，

∵f（2.5）<0，f（2.75）<0，∴f（2.5）·f（2.75）<0∴零點在（2.5，2.75）內。

∵（2，3）？勐（2.5，3）？勐（2.5，2.75）

∴零點所在的范圍越來越小，只要重復以上步驟，則零點的范圍會越來越小。

（三）合作學習，探究新知

1.請2位同學試著概括二分法求近似解的定義及用二分法求函數f（x）零點近似值的步驟，在學生總結基礎上，結合數形結合及師生互動共同完成二分法的精準定義。

2.給定精確度ε，用二分法求函數f（x）零點近似值的步驟如下：

（1）確定區間[a，b]，驗證f（a）·f（b）<0，給定精確度ε，求區間（a，b）的中點m；

（2）計算f （m）：{1}若f（m）=0，則m為函數的零點；{2}若f（a）· f（m）<0，則令b=m（零點x0∈（a，m））；{3}若f（m）·f（b）<0，則令a=m（零點x0∈（m，b））；

（3）若a-b<ε，則零點近似值a（或b）；否則重復以上步驟。

（四）典例講解，鞏固升華

典例：用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確度0.1）

解：原方程2x+3x-7=0，f（x）=2x+3x-7，f（x）在R上為增函數，且f（1）·f（2）<0，則說明f（x）在（1，2）內有零點x0，?。?，2）的中點x1=1.5，計算得f（1.5）≈0.33，因為f（1）·f（1.5）<0，所以x0∈（1，1.5）；再?。?，1.5）的中點x2=1.25，計算得f（1.25）≈-0.87，因為f（1.25）·f（1.5）<0，所以x0∈（1.25，1.5）；同理得x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375）。由于1.375-1.4375=0.0628<0.1，故近似解可取1.4375。

（五）課堂練習，時效檢測

1.用二分法求函數f（x）=x3+x2+0.9x-1.5的零點。（精確度0.1）

2.用二分法求方程x=3-lnx的近似解。（精確度0.01）

（六）課堂小結，明確重點

1.掌握用二分法求方程的近似解的方法，并能在具體問題中加以應用；

2.體會函數與方程思想、數形結合思想、逐漸逼近思想。

（七）課后作業，鞏固提升

{1}P92A組1、3 {2}同步檢測課時訓練A級

（八）板書設計，做好示范

課題《用二分法求方程的近似解》

1.定義：情境引入 思考 復習

2.步驟：具體問題 1. 1.零點

用于方程求解近似解 2. 2.零點存在定理

編輯 魯翠紅