研發“小結論” 秒殺“大問題”

王國海

摘 要：在考試中，學生失分的原因是多種多樣的，表現的形式也不盡相同，其中最應該引起師生注意的是解題過程繁瑣、解題速度緩慢造成的“費時失分”現象。選擇了等差數列和等比數列的“小結論”研發成果進行分享，以期拋磚引玉。

關鍵詞：小結論；大問題；光速解法

在高中階段，幾乎每次數學考試，除極少數學霸外，絕大多數人都做不完所有試題。針對這個普遍性問題，筆者經過學霸訪談、全面分析、深度思考、反復推敲等一系列研究發現，如果能把一些經典題的結論記住，直接應用于解題中，可以使解題速度大大提升，甚至秒殺“大問題”。現將我對等差數列和等比數列研發的最新成果進行分享，以期拋磚引玉。

一、四個“小結論”

（一）若等差數列an的前n項和為Sn，則有an= ；若數列an、bn都是等差數列，它們的前n項和分別為Sn、Tn，并且 =f（n），則有= =f（2n-1）。

研發：由數列an是等差數列可得2an=a1+a2n-1，進而an= = = ，即數列 是等差數列an的另一種表現形式。

∵an、bn都是等差數列，∴ = = = = 。∵ =f（n），∴ = =f（2n-1）。

（二）若等差數列an的前n項和為Sn，則它的任意m項片段和依次構成一個新的等差數列，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等差，進而S3m=3（S2m-Sm）。

研發：由Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差得2（S2m-Sm）=Sm+（S3m-S2m），進而S3m=3（S2m-Sm）。

易錯提醒：①若等差數列an的前n項和為Sn，則數列 不一定是等差數列。②若等差數列an的前n項和為Sn，則Sm，S2m，S3m，…不一定成等差。

（三）設等比數列an的公比為q，其前n項和為Sn，則有Sm+n=Sm+qm·Sn。特別地，當m=1時，有Sn+1=a1+q·Sn。

研發：∵Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+am+1+am+2+…+am+n=Sm+qm（a1+a2+…+an）=Sm+qm·Sn，∴Sm+n=Sm+qm·Sn。

取m=1，得Sn+1=S1+q·Sn=a1+q·Sn。∴當m=1時，有Sn+1=a1+q·Sn。

（四）若等比數列an的前n項和為Sn，則它的任意m項片段和依次構成一個新的等比數列，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比，進而S3m=Sm-S2m+ 。

研發：由Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等比得（S2m-Sm）2=Sm（S3m-S2m），進而S3m=Sm-S2m+ 。

補充說明：①設等比數列an的公比為q，其前n項和為Sn，則也有Sm+n=Sn+qn·Sm。特別地，當n=1時，有Sm+1=a1+q·Sm。②若等比數列an的前n項和為Sn，則數列Sm，S2m，S3m，…一定不是等比數列。

二、四個“大問題”

例1 設an、bn是兩個項數相同的等差數列，它們的前n項和分別為Sn、Tn，并且 = 對一切正整數n都成立，那么 =________。

龜速解法：∵an、bn都是等差數列，∴2a1010=a1+a2019，2b1010=b1+b2019，進而a1010= ，b1010= ，∴ = = = 。又 = ，∴ = = = 。

光速解法：∵ = ，∴ = = = 。

例2 已知等差數列an的前m項和Sm=30，前2m項和S2m=100，則它的前3m項和S3m=_______。

龜速解法：設其公差為d，則由Sm=30得ma1+ d=30①，由S2m=100得2ma1+ d=100②，聯立①②解得a1= ，d= ，∴S3m=3ma1+ d=3m× + × = =210。

光速解法：S3m=3（S2m-Sm）=3×（100-30）=210。

例3 已知等比數列an的公比q=2，其前4項和S4=30，則它的前8項和S8=________。

龜速解法：由S4=30及q=2得 =30，化簡得15a1=30，解得a1=2。∴S8= =2×255=510。

光速解法：∵S8=S4+q4·S4，且q=2，S4=30，∴S8=30+24×30=510。

例4 設等比數列an的前n項和為Sn，且Sn=48，S2n=60，求S3n的值。

龜速解法：設其公比為q（q≠1），則由Sn=48得 =48①，由S2n=60得 =60②，聯立①②解得qn= ， =64。∴S3n= = ·1-（qn）3=64×1-（ ）3=64× =63。

光速解法：S3n=Sn-S2n+ =48-60+ =63。

在考試中，學生失分的原因是多種多樣的，表現的形式也不盡相同，其中最應該引起師生注意的是解題過程繁瑣、解題速度緩慢造成的“費時失分”現象。通過比較四個“大問題”的龜速解法和光速解法不難看出，研發“小結論”，秒殺“大問題”，無疑是破解“做不完”難題的法寶。

參考文獻：

王瑋.活用等差、等比數列求和公式[J].中學生百科，2008（5）.

編輯 謝尾合