淺談用旋轉法作輔助線證明幾何題—對2018年廣州市中考第25題的解讀與變式訓練

廣東省廣州市聚德中學(510300) 江韻怡

1、試題呈現(xiàn)

(2018廣州中考第25題)如圖1,在四邊形ABCD中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.

圖1

(1)求∠A+∠C的度數(shù);

(2)連接BD,探究AD,BD,CD三者之間的數(shù)量關系,并說明理由;

(3)若AB=1,點E在四邊形ABCD內(nèi)部運動,且滿足AE2=BE2+CE2,求點E運動路徑的長度.

解(1)四邊形內(nèi)角和為360°,因為∠B+∠D=90°,所以∠A+∠C=360°-90°=270°.

(2)將△BCD逆時針旋轉為△BAG,所以△BCD～=△BAG,所以BD=BG,∠BAG=∠BCD,CD=AG.因為∠ABC=60°,所以∠DBG=60°,所以△BDG為等邊三角形,所以BD=BG=GD.由(1)得∠BAD+∠BCD=270°,所以∠BAD+∠BAG=270°,所以∠DAG=90°.在 Rt△ADG中,AD2+AG2=DG2,所以AF2+CD2=BD2.

圖2

圖3

(3)點E的運動路徑的長度為如圖,因為AB=AC,∠ABC=60°,所以△ABC為等邊三角形.在△ABC內(nèi)取點E,使∠BEC=150°,此時滿足AE2=BE2+CE2.證明如下,將△BEC繞點C順時針旋轉60°至△AFC,則∠BEC=∠AFC=150°,則△ECF為等邊三角形EF=EC,所以∠ECF=60°,所以∠AFE=∠AFC-∠EFC=150°-60°=90°,所以AE2=EF2+AF2.因為EF=EC,AF=BE,所以AE2=BE2+CE2.E在∠BEC為150°的圓周角的⊙I上,∠BHC=30°.因為AB=BC=1,∠BIC=2∠BHC=60°,所以△IBC為等邊三角形,所以弧BC=

本題位于第25題,全卷的最后一題,是一道難題.本題條件較少,措詞簡單,圖形簡單僅僅只有一個不規(guī)則的四邊形,第一問非常容易,學生都很容易接受,考察四邊形內(nèi)角和定理,但這個問題其實意味深遠,給學生第二問以腳手架,并且別處心裁,學生很難聯(lián)想到270°的用法原來是利用360°-270°=90°,得到我們熟知的直角,虛者實之,妙不可言.

第二問探究三邊之間的關系,很容易聯(lián)想到割長補短等解題策略,但題者給出出乎意料的處理方法,題目條件中的連接BD,讓題目中的∠D=30°的特殊角給破壞了,引人深思.學生若能從已知AB=BC中頓悟到用旋轉輔助線將△BCD逆時針旋轉為△BAG破解了270度轉化到90度,所有問題都迎刃而解,精彩絕倫.

本題第3問,已知三邊的關系,求點E與定點A,B形成的角度.題者讓學生求解E的運動路徑,也就是考察學生對弧長公式的理解與掌握程度……