一題一世界 平淡蘊(yùn)傳奇—核心素養(yǎng)視角下的2018安徽壓軸題的深度剖析

安徽省馬鞍山市小馬教育培訓(xùn)學(xué)校(243000) 范宏業(yè)

在整理安徽省2018年中考數(shù)學(xué)第23題(壓軸題)的證法時,發(fā)現(xiàn)了一個比較神奇的情況,當(dāng)我們將這些證法集中在一起時,這些證法,竟然分布于義務(wù)教育階段所學(xué)的“圖形與幾何”全部內(nèi)容中,幾乎是覆蓋了“圖形與幾何”的所有知識點(diǎn);再透視這些證法時,除了用幾何綜合法外,還有“代數(shù)法”和“解析法”,也有學(xué)生用“同一法”,既有“直接法”,也有“間接法”,可以說,本題的證法,是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)證明方法的大展覽.透過這些證法,我們可以從中領(lǐng)悟到如何去進(jìn)行幾何證明的教學(xué);如何去進(jìn)行幾何證明的復(fù)習(xí).

1.原題及解答

(2018年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷第23題)如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)M為BD中點(diǎn),CM的延長線交AB于點(diǎn)F.

(1)求證:CM=EM;

(2)若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;

(3)如圖2,若△DAE～=△CEM,點(diǎn)N為CM的中點(diǎn),求證:AN//EM.

圖1

圖2

1.1問題(1)典型的證法

證法一(利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”)

因?yàn)樵赗t△DCB中,∠ACB=90°,M為BD中點(diǎn).所以同理所以MC=ME.

證法二(利用“四點(diǎn)共圓”)

因?yàn)椤螦CB=90°,DE⊥AB,所以B、C、D、E四點(diǎn)在以BD為直徑的圓周上;又點(diǎn)M為BD中點(diǎn),所以MC=ME.(如圖3)

圖3

圖4

證法三(利用“線段的垂直平分線的性質(zhì)”)

過點(diǎn)M作MP⊥BC于點(diǎn)P,如圖4.因?yàn)椤螦CB=90°,所以MP//CD.又DM=BM,所以CP=BP.所以MP垂直平分BC.所以CM=BM.同理EM=BM,所以MC=ME.

(此證法是在閱卷過程中記錄下的學(xué)生證明.馬鞍山市的市區(qū)(花山區(qū)、雨山區(qū))使用的數(shù)學(xué)課本為上海科學(xué)技術(shù)出版社出版的“義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)”,在八年級下冊第81頁例6后有“經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊”.此證法雖然有點(diǎn)“舍近求……