數形結合思想在高考數學題中的靈活妙用

江蘇省啟東市呂四中學 朱曉燕

縱觀近些年江蘇數學高考試題，對數形結合思想的考查涵蓋在各類題型中，以客觀題為主要考查形式，意在考查學生抽象思維與具象思維之間的轉化能力以及是否能夠把握住問題的本質，從而快速得出問題的正確答案。筆者深度研究并總結了近些年江蘇數學高考試題中運用數形結合思想可解決的五大數學問題，以期教師對高中數形結合思想的教學能夠更加具有針對性和高效性。

一、函數的對稱性

函數圖像能夠生動直觀地反映一些重要信息和解題關鍵點，如函數圖像與坐標軸的交點、函數的單調性、奇偶性以及一些已知關鍵點的坐標信息，學生可根據題干中所給的函數圖像，挖掘圖像中的有效信息，完善函數表達式并解決問題，或學生根據題干中所給的數字關系式等信息繪制函數草圖，從圖像中挖掘特殊規律，完成問題解答。

例如，在2007年的江蘇高考數學試題中，有這樣一道關于“函數對稱性”的問題：設函數f（x）定義在實數集上，它的圖像關于直線x=1對稱，且當x≥1時，f（x）=3x-1，則有（ ）。

本題是對指數函數單調性、特殊點以及函數圖像對稱性的綜合考查。由題可知，當x≥1時，可根據函數特點或簡單的函數圖像得f（x）=3x-1為單調增函數，又因為函數圖像關于直線x=1對稱，由此可得當x＜1時，函數是單調遞減的，學生可根據此前畫出的草圖再畫出其對稱部分，大致標出3個x值在圖像中的位置，會發現該圖像的特點在于x值越遠離于1，函數值即越大，從而輕松得出結論B，通過圖像妙解此題。

二、線性規劃

高中階段學生需要掌握的線性規劃知識較為基礎，簡單的線性規劃是直線方程的一種簡單應用，可結合圓以及圓錐曲線等進行綜合考查，從而增大解題難度，線性規劃在高考中一般多以中檔題的形式出現，因此解決此類問題有一定難度，教師應當針對不同題型的特點，結合函數圖像的運用，增進學生對此類問題的了解和熟練掌握。

例如，在2017年江蘇高考數學試題中，有這樣一道填空題：在平面直角坐標系xOy中，A（-12，0）， B（0，6），點P在圓O：x2+y2=50上，若≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是______ 。

本題考察的是圓與直線位置關系的運用。點P橫坐標的取值范圍表示一段符合條件的軌跡和區域，因此需要學生根據題意畫出草圖，根據圖像區域判斷符合條件的P點橫坐標的取值范圍。可先設P點坐標為（x， y），得與，代入題中所給條件·≤20，得出一個關于x和y兩個變量的不等式，進而與圓方程聯立，得出簡單的二元一次不等式2x-y+5≤0，將該不等式轉化為直線方程2xy+5=0，不等式所表示的區域即P點軌跡在直線上方，因此只要求出該直線與圓O的交點，再結合圖像得出范圍即可。

三、函數的大小比較

不同函數之間的大小比較多采用數形結合的方法解決，多出現在較為基礎的填空題中，根據填空題的解題技巧，學生應當采取一定的技巧快速得到正確答案，數形結合這一方法能夠促使學生正確把握解題方向，高效解題。這類問題尤其是在涉及兩個以上的變量或函數條件較為復雜時，即使在不完全明確函數表達式時，學生也可根據題中所給的特殊條件畫出草圖，求出函數圖像的交點等與問題相關的有效信息，省略一些煩瑣的計算步驟，高效得出正確的答案。

例如，在2013年江蘇高考數學試題中，有這樣一道填空題：已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x2-4x，則不等式f（x）＞x的解集用區間表示為______。

本題主要考查學生對函數奇偶性的掌握以及對函數圖像的運用。由題干信息可知函數f（x）在x＞0時的表達式，且根據“奇函數”這一條件，很多學生的第一反應就是求出函數在x＜0時的表達式，此法固然可以得出另一半函數表達式，但這一方法無形中加重了學生的計算量，而運用數形結合思想則可以減少一半計算量，根據條件畫出f（x）在x＞0時的圖像，再根據“奇函數”這一條件畫出關于原點對稱的圖像，結合y=x這條直線，計算兩函數圖像的交點所在，再根據圖像的趨勢，快速得出x的取值范圍。

四、三角函數

高考對三角函數性質的考查一般較為基礎，多需要學生求出具體函數解析式，得到特定點的函數值。在三角函數f（x）=Asin（wx+φ）中，A， w以及φ是常數，也是常要求學生根據圖像、周期以及特殊點等一系列信息計算的三個常數，因此，學生應當牢固掌握三角函數的圖像畫法，根據振幅、周期等條件得出常數值，完善三角函數表達式，進而求出特定點的函數值。

例如，在2011年江蘇高考數學試題中，有這樣一道填空題：函數f（x）=Asin（wx+φ）（A， w以及φ是常數，A＞0，w＞0）的部分圖像如圖所示，則f（0）=______。

本題考查的是學生對三角函數圖像、性質的掌握情況。本題的有效信息均出現在圖像中，首先可以確定最低點的縱坐標，確定A值大小，進而根據三角函數的周期特點以及圖像中兩點x值之間的間隔，求出周期T，進而得到w值，最關鍵也是最易出現錯誤的一步即φ值的計算，需根據三角函數左右移動的距離確定φ值，并做一定的討論，題干所給圖像對學生具有一定的迷惑性，學生應當根據計算所得的φ值，討論得出三角函數解析式，從而更全面地解出函數值。

總之，以數輔形，方顯細微精妙，以形輔數，方顯直觀形象。針對數形結合思想在高考數學試題中出現頻率較高的特點，教師在對學生進行數形結合思想教學時，應當引導學生對數形結合思想進行總結，通過不同題型的歸納和規律總結，大大提升試題完成效率，并通過舉一反三的方法，拓展新穎題型中數形結合的運用，從而在解題過程中保持更加理性、從容，最終實現數學思維和解題能力的有效提升。