全等三角形的教學策略

四川省寧南縣三峽白鶴灘學校 廖萬謙

中學階段重點研究的兩個平面圖形間的關系是全等與相似，而全等是一種特殊的相似；最簡單、最基本的幾何圖形是三角形，多邊形的問題常常轉化為三角形來解決。全等三角形的內容是學生學習相似三角形的重要基礎，也是后面學習等腰三角形、四邊形、圓等幾何內容的基礎。如何講好全等三角形，突破幾何證明這個重難點，培養學生推理論證的能力，是所有數學老師都想要解決的問題。

一、學生的易犯錯誤

在證明三角形全等的過程中，學生容易犯的錯誤包括：

1.不注意相等的線段或角是不是三角形的邊或內角，忽略了線段或角的加減；有的學生知道要加減，但書寫格式又不對。

2.不知道該證哪兩個三角形全等。

3.不知道怎樣添加輔助線。

4.書寫格式不規范，推理過程不嚴密。

二、全等三角形的知識準備

首先，要避免上述錯誤，需要難點前置，在前面的教學中就要對角平分線的定義、角的加減、線段的加減、同角（或等角）的余角相等的證明、同角（或等角）的補角相等的證明、等量代換、平行線的性質與判定、三角形內角和定理與外角和定理的運用等知識非常熟悉，掌握扎實，才能在全等三角形的證明中一看到已知條件，就能得出相應的正確結論。

其次，加強對角的鄰邊、對邊、夾邊及邊的鄰角、對角、夾角等概念的理解，比較區分SAS或SSA、 ASA或AAS，避免亂用依據。

最后，在平移、旋轉、翻折構成的全等三角形中，能熟練尋找到兩個三角形的公共邊、公共角、對頂角等隱含條件，特別要熟悉八字形、三直角模型圖的相關證明。

三、完善全等三角形的教學細節

1．三點定形法找三角形

要證明兩個三角形全等，至少要有一組邊對應相等。如果有兩組以上的邊對應相等，那么兩組邊就能唯一確定兩個三角形全等。如果只有一組對應邊相等，那就有了三角形的兩個頂點字母了，結合已知條件中的角，結合圖形，再找一個字母構成三角形。只要三角形找到了，證全等也就完成了一半的工作了。當然，在寫兩個三角形的頂點字母時，一定要強調對應；運動型問題要注意分類討論。

2．分析法與綜合法的綜合運用

學生拿到一道證明題后，第一遍讀題就要在圖上作好標記，“由因導果”，從已知條件出發，根據逐步的邏輯推理，能推出哪些結論要做到心中有數，這就是綜合法；第二遍讀題，“執果索因”，從問題出發，一步一步探索下去，最后找到已知條件，這就是分析法。在教學中，要注重對學生思維的訓練，靈活運用分析法與綜合法，能極大地提高解題的效率。

3．多次全等的證明

很多稍復雜一點的題型都需要證明兩次、三次全等，才能解決問題。這就需要對知識進行綜合把握，明白已知條件能證明哪兩個三角形全等，問題需要證明哪兩個三角形全等，從而找到中間的橋梁。

4．全等的證明思路

5．重視角平分線性質判定的運用

角平分線的性質可以直接用來證明線段相等，判定可以用來說明角相等，強調書寫格式，利用性質與判定找到證全等的條件。

6．重視幾何語言的描述

要想學好幾何，必須做到文字、圖形、符號語言的相互轉化，特別是重視邏輯推理的過程，規范學生書寫格式，通過強化學生的說促進學生的寫。

7．補充不等關系的證明

讓學生明白，證明邊的不等關系，就要用到兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。如果不在同一個三角形中，利用全等進行邊的代換。如果要證明角的不等關系，就要用到三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角，同理進行角的轉化。

8．引導學生歸納出證明線段或角相等的常見方法

證明兩條線段相等：中點中線；線段的加減；等量代換；全等；等角對等邊；角平分線的性質；線段垂直平分線的性質；

證明兩個角相等：角平分線的定義；角的加減；等量代換；垂直；平行；同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等；全等；等邊對等角；

四、全等三角形中的常見輔助線添加方法

1.構造公共邊。

2.連接對角線（多邊形常轉化為三角形）。

3.有中線倍長中線（證倍分關系或不等關系）。

4.有角平分線常向角兩邊作垂線（證線段相等）。

5.有角平分線常向角兩邊截取相等的線段（證和差關系或不等關系）。

6.截長補短法（證和差關系或不等關系）。

其實，在三角形的教學中，上述輔助線的添加方法，都遵循一個原則，那就是通過平移、旋轉、翻折來構造全等三角形。

五、注重解決實際問題能力的培養

人教版教材38頁的例2，很多老師都喜歡直接出示例題，用剛學的邊角邊判定定理來證明這種方法的可行性。而我認為，該題應從培養學生解決實際問題的能力著手訓練，可以創設情境，把教學重點轉移到如何設計方案，構造出全等三角形，從而間接測量出不能直接到達的兩點之間的距離。這樣將為以后利用相似三角形進行實際測量打下基礎，有助于提高學生的學習興趣，強化數學與現實生活的聯系，體會數學的基礎性與實用性。