如何提高初中數學解題教學效率

廣東省東莞市光明中學 黃王華

數學家波利亞認為：學生思維的發展、能力的提高都要通過解題來習得。縱觀身邊一線教師對試題的評講，對解題教學還停留在只為解決某個問題的水平，缺少題后反思，沒有把問題教學提升到形成思想方法和解題策略的層面，因此教師的教育理論水平有待提高，教學方法也急待改變。

一、問題情境呈現，把握所需要的數學基本知識

近年來，廣東省中考數學9分題中代數綜合題考查拋物線知識的情況比較多，于是把涉及的考點及思想方法歸納起來做了這個模型：

【已知條件】在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）。

【問題風暴1】求拋物線的解析式 （注：1.一般式：y=ax2+bx+c。2.交點式：y=a（x-x1）（x-x2））

求拋物線解析式是中考的常考考點，本題有多種解法，利用交點式解決計算量是最少的，如果使用一般式，計算量就大得多。壓軸題中的9分題如果第一問計算出錯，將會導致后面的幾問全盤皆輸。

解：∵拋物線經過點A（-4，0），C（2，0），

∴設拋物線解析式為y=a（x+4）（x-2）。

∵拋物線經過點B（0，-4），∴有-4=a（0+4）（0-2），

當我們所研究的數學式子具有某種特定形式時，要確定它，只要求出式子中待確定的字母的值就可以了。另外，根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和圖形巧妙和諧地結合起來，并充分利用這種結合尋求解題思路。

二、問題升級，針對考點歸納思想方法

“掌握數學思想和方法可以使數學更容易理解和更容易記憶，領會基本思想和方法是通向遷移大道的光明之路。”布魯納這樣建議我們。因此，在解題教學中，我們要善于引導學生用數學思想方法找到思路。

【問題風暴2】對稱軸上是否存在一點P，使得△BCP的周長最小？如果存在，請求出點P的坐標。

要使△BCP的周長最小，根據其周長=BC+CP+BP，可以發現BC是固定的，所以就是要CP+BP的值最小，不難發現，本問題就是對稱性問題了。所以P的位置確認是本題的關鍵。

解：∵拋物線經過點A（-4，0），C（2，0），

∴拋物線的對稱軸為直線x=-1。

要使得△BCP的周長最小，即CP+BP最小，C點關于對稱軸的對稱點是點A（-4，0），直線AB與對稱軸：直線x=-1的交點即為P點。

設直線AB的解析式為y=kx+b，

∴直線AB的解析式為y=-x-4，∴直線AB與直線x=-1的交點P的坐標為（-1，-3）。

本題是通常考法，但根據中考數學，也會出現其他類型的考題，表面看起來差不多，卻發生了根本性的變化。

【問題風暴3】對稱軸上是否存在一點P，使得PC-PB最大，如果存在，請求點P的坐標。

本題主要考查三角形的三邊關系：兩邊之差小于第三邊，所以直線BC與對稱軸的交點就是P點的位置。

解：設直線BC的解析式為y=kx+b。

∴直線BC的解析式為y=2x-4。

∴直線BC與對稱軸：直線x=-1的交點P的坐標為（-1，-6）。

【變異風暴3】對稱軸上是否存在一點P，使得︱PA-PB︱的值最大？如果存在，請求點P的坐標。

本問題同樣難點在于找P點的位置，只要位置確定，計算就不難，其實它是風暴3的變異。聯系與轉化的思想完全可以應用于數學學科中，數學學科的各部分之間也是相互聯系，可以相互轉化的。解題時如果能恰當處理，往往可以化繁為簡。

三、考點升級，數學思想方法突顯

在數學中，常常需要根據研究對象性質的差異，分各種不同情況予以考查，這種分類思考的方法是一種重要的解題策略。在解答題中，等腰三角形與相似三角形問題的分類討論尤為重要，以下為例。

【問題風暴4】對稱軸上是否存在一點P，使得△ABP是等腰三角形？如果存在，請求點P的坐標。

本題除了分三種情況進行分類討論外，解法也是值得繼續研究的，一種是代數方法，利用兩點間的距離公式可以得到方程；一種是幾何方法，分別把三種情況下的圖形畫出來，進行特殊情況的計算。

解：假設存在這樣的點P，使得△ABP是等腰三角形，設P（-1，y），則會有三種情況：

（1）當AB=AP時，即AB2=AP2，即（-4-0）2+（0+4）2=（-4+1）2+（0-y）2；

（2）當AB=BP時，則AB2=BP2，則（-4-0）2+（0+4）2=（0+1）2+（-4-y）2；

（3）當AP=BP時，則AP2=BP2，則（-4+1）2+（0-y）2=（0+1）2+（-4-y）2。

【問題風暴5】點N為對稱軸與x軸的交點，對稱軸上是否存在一點P，使得△BOC與△ANP相似？如果存在，請求點P的坐標。

三角形相似的分類討論問題主要在對應邊上，通常這類題都會有一個條件是對應的，如本題首先就會有一個角的對應關系，那就是直角，接下來就是圍繞直角的兩邊進行分類討論，所以就分兩種情況：

四、動點問題，幾何問題代數化

動點問題對學生能力水平有較高要求，如果能夠以靜制動，把幾何問題代數化，對于解題能力將會是一種質的提高。

【問題風暴6】在直線y=x+4上有一個動點P，過P作x軸的垂線交拋物線于點Q（P在Q點上方），求PQ最大值及P點的坐標。

本題的問題主要涉及動態最值問題，可以用代數的方法表示線段PQ的長度，要使PQ最大，只需要把PQ的長度表示出來。