積極引導(dǎo)探究，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更有效

☉江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)瓜洲中學(xué) 沈 亮

從某個(gè)角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)就是教會(huì)學(xué)生如何學(xué)數(shù)學(xué).教師講學(xué)生聽的這種教學(xué)模式雖然由來(lái)已久，但已經(jīng)不能適應(yīng)當(dāng)前的教學(xué)形勢(shì).讓學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，把學(xué)習(xí)的權(quán)利交還給學(xué)生，讓學(xué)生主動(dòng)探究，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)模式的主流.那么，教師應(yīng)如何積極引導(dǎo)學(xué)生探究，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得更有效呢？在此，筆者談?wù)勗跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透探究性學(xué)習(xí)的一些體會(huì)，供同行參考.

一、在新授課的概念教學(xué)中引導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般是從概念與定義開始.在這些概念與定義的教學(xué)中，由數(shù)學(xué)概念與定義的產(chǎn)生，該如何得到概念與定義？又該如何理解這個(gè)概念與定義呢？這些都由教師一人承擔(dān)，而學(xué)生只是默默地聽，默默地記，長(zhǎng)此以往的后果就是學(xué)生的思維能力不斷下降，甚至萎縮，學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性蕩然無(wú)存.

如，在《雙曲線》教學(xué)中，部分教師這樣展開教學(xué)：

我們已經(jīng)知道，與兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡通常是橢圓，那么與兩定點(diǎn)的距離的差為非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線呢？我們一起做個(gè)實(shí)驗(yàn)！（教師在黑板上演示）

工具：圖釘，筆，拉鏈.

方法：將拉鏈拉開一部分，在拉開的兩邊上各選取一點(diǎn)，分別固定在F1，F(xiàn)2上，點(diǎn)F1到點(diǎn)F2的長(zhǎng)為2c（c＞0）.把筆尖放在M處，隨著拉鏈逐漸拉開或閉攏，筆尖就畫出一條曲線.

請(qǐng)大家想一想：這條曲線是滿足什么條件的點(diǎn)的集合？（引出下面問(wèn)題）

平面上與兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？

教師講解：設(shè)這兩個(gè)定點(diǎn)分別為F1與F2，動(dòng)點(diǎn)為P，非零常數(shù)為2a，則有||PF1|-|PF2||=2a，

（1）在0＜2a＜|F1F2|條件下：|PF1|-|PF2|=2a時(shí)為雙曲線的一支（含F(xiàn)2的一支）；|PF2|-|PF1|=2a時(shí)為雙曲線的另一支（含F(xiàn)1的一支）.

（2）當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，||PF1|-|PF2||=2a表示兩條射線.

（3）當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，||PF1|-|PF2||=2a不表示任何圖形.

教師引導(dǎo)：在雙曲線的定義中應(yīng)當(dāng)注意2a=||MF1|-|MF2||＜|F1F2|=2c這一條件.例如：平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0）的距離差是6時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支，當(dāng)差等于8時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是兩條射線，當(dāng)差大于8時(shí)無(wú)軌跡，這幾種情形都不是雙曲線.理解雙曲線應(yīng)注意理解定義中的條件.

上述教法，從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來(lái)看，無(wú)可挑剔，而從引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來(lái)看，有待商榷.因?yàn)樵谶@個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師充其量就是一個(gè)表演者和解說(shuō)員，學(xué)生都成了看客，不能夠主動(dòng)加入到探究雙曲線概念的活動(dòng)中來(lái).那么如何讓學(xué)生主動(dòng)參與到探究活動(dòng)中去呢？教師必須要?jiǎng)?chuàng)設(shè)探究情境.

例如在《雙曲線》這節(jié)概念課中，教師應(yīng)該讓學(xué)生主動(dòng)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，通過(guò)畫雙曲線的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生自己總結(jié)雙曲線的定義，并思考|PF1|，|PF2|與|F1F2|的數(shù)量關(guān)系.這樣把問(wèn)題拋向?qū)W生，學(xué)生自然會(huì)通過(guò)主動(dòng)探究，來(lái)獲知利用雙曲線定義時(shí)的幾個(gè)注意點(diǎn).

筆者以為，要想讓學(xué)生學(xué)會(huì)探究，教師應(yīng)該從概念教學(xué)開始，積極創(chuàng)設(shè)探究情境，并積極引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究.

二、在習(xí)題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)

習(xí)題教學(xué)既是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是引導(dǎo)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的主要環(huán)節(jié)之一.在教學(xué)過(guò)程中，教師可以從不同角度引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，從而誘發(fā)新問(wèn)題，發(fā)展新思維，進(jìn)而把學(xué)生引向探究境地.因此可以是對(duì)問(wèn)題的變式進(jìn)行探究，以問(wèn)題串的形式出現(xiàn)，由淺入深，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，環(huán)環(huán)相扣，步步為營(yíng)，讓學(xué)生探究起來(lái)欲罷不能，也可以是一題多解式探究，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)多種解法的探究，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，欣賞數(shù)學(xué)世界的無(wú)限風(fēng)光.尤其是在高三復(fù)習(xí)課上，要讓學(xué)生通過(guò)一題多解的方式來(lái)展現(xiàn)自我的探究能力.

如，在平面向量一輪復(fù)習(xí)中，筆者讓學(xué)生以下面一題為載體，探究多種解法.

例題給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量，它們的夾角為120°.如圖1所示，點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心的圓弧

圖1

經(jīng)過(guò)學(xué)生集思廣益，從多角度進(jìn)行探究，竟然發(fā)現(xiàn)了7種解法，令人贊嘆.

學(xué)生分別從特殊值法，坐標(biāo)法，函數(shù)法，不等式法，利用數(shù)量積轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題等多個(gè)角度加以探究，最終獲得7種解法.限于篇幅，本文選摘其中的兩種思路來(lái)求解，以饗大家.

1.考慮向量的數(shù)量積的運(yùn)算

所以x+y=2［cosα+cos（120°-α)］=2sin（α+30°）.

所以當(dāng)α=60°時(shí)，（x+y）max=2.

解法2：（兩邊平方法）因?yàn)?/p>

所以x+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào).

所以（x+y）max=2.

2.考慮平行四邊形法則

解法3：過(guò)點(diǎn)C作CM∥OB交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作CN∥OA交OB于點(diǎn)N，則四邊形OMCN是平行四邊形.由向量加法的平行四邊形法則得：△OMC中，設(shè)∠AOC=α，則∠BOC=120°-α，且|OM|=x，|MC|=y.

圖2

由正弦定理可得：

所以x+y=2sin（α+30°）.

所以當(dāng)α=60°時(shí)，（x+y）max=2.

解法4：由余弦定理可得|MC|2-2|OM|·|MC|cos60°，

即1=x2+y2-xy=（x+y）2-3xy≥（x+y）2-3·

所以x+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取等號(hào).

所以（x+y）max=2.

從以上學(xué)生的探究過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)，只要教師因勢(shì)利導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力必將得到極致的發(fā)揮.常言道：群眾的力量是無(wú)窮的，讓學(xué)生合作學(xué)習(xí)，通過(guò)探究，往往能起到1+1＞2的效果，也更能體現(xiàn)出探究性學(xué)習(xí)的價(jià)值.

三、在開放式問(wèn)題的解決中引導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)問(wèn)題具有嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)，雖然可以訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，但數(shù)學(xué)問(wèn)題更需要具有開放性的特點(diǎn)，因?yàn)殚_放式問(wèn)題更能引導(dǎo)學(xué)生積極探究，主動(dòng)創(chuàng)新.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，設(shè)計(jì)開放式問(wèn)題，甚至答案不唯一，不確定的數(shù)學(xué)課題，是學(xué)生開展探究性學(xué)習(xí)的最有效的載體.在平時(shí)的教學(xué)中，可以讓學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律，總結(jié)某知識(shí)點(diǎn)的用途，甚至可以讓學(xué)生研究歷年高考題的題型分布，讓學(xué)生從學(xué)習(xí)的初級(jí)階段向高層次的探究階段轉(zhuǎn)化.

比如，在學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性之后，筆者給學(xué)生布置了這樣一道開放題：

函數(shù)單調(diào)性有哪些用途，試舉例說(shuō)明.

這是一個(gè)開放式探究性問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)過(guò)合作探究，得到了如下成果（例題解答略）：

1.利用函數(shù)單調(diào)性解方程，如：解方程2x3+x=18；

5.利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式，如：已知a，b，c∈R+，c＜a+b且c＞a-b，求證：

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)開放式問(wèn)題，既是培養(yǎng)學(xué)生探究能力的需要，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn).

總之，選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，是培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的重要環(huán)節(jié)，是教學(xué)改革的必然趨勢(shì)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.