論教材中向量習(xí)題編排之“用心良苦”

☉江蘇省連云港市海濱中學(xué) 宋麗萍

☉山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)雪野鎮(zhèn)中心中學(xué) 張光發(fā)

《平面向量》是蘇教版必修4第二章的內(nèi)容，它不僅是高中數(shù)學(xué)中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是我們解決諸多數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的數(shù)學(xué)工具之一.平面向量是每年高考的必考內(nèi)容，它的考查內(nèi)容主要集中于向量的線性表示、向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的數(shù)量積這幾個(gè)方面，且在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)過，難度不算大，以基礎(chǔ)題和中檔題為主，這類考題應(yīng)該是考生比較容易得分的題目，因此，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，我們要認(rèn)真研讀教材，弄清教材編寫者的意圖，只有對(duì)一類問題窮追不舍、舉一反三，才能在考試時(shí)做到“萬無一失”.本文就和大家一起來體會(huì)教材在處理向量的線性表示這一基本問題時(shí)的“用心良苦”.

【教材原題1】教材第69頁練習(xí)題第8題：如圖1，在△OAB中，C是AB的中點(diǎn)，設(shè)

【教材解讀】這個(gè)練習(xí)題安排在向量的數(shù)乘這一小節(jié)后面，我想編者的意圖應(yīng)該是希望學(xué)生可以借助于向量的數(shù)乘的知識(shí)來表示并加深對(duì)向量的數(shù)乘的理解，因此我們可以這樣來解：

圖1

其實(shí)，如果我們對(duì)題設(shè)條件中“C是AB的中點(diǎn)”仔細(xì)推敲，不難發(fā)現(xiàn)，可以借助這個(gè)中點(diǎn)將圖形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形，如圖2所示，然后根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，

圖2

【教材原題2】如圖3，在任意四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn).求證

圖3

圖4

【教材解讀】教材在此處安插本題，是對(duì)上面一道練習(xí)題的跟進(jìn)，此題中隱含了原題1中的基本圖形：連接EB、EC，如圖4所示，根據(jù)原題1中的結(jié)論，我們就能迅速將向量，然后再由向量加法的三角形法則，得

另外，此題也是對(duì)教材第64頁的思考“如果平面內(nèi)有n個(gè)向量依次首尾連接組成一條封閉的折線，那么這n個(gè)向量的和是什么？”的實(shí)踐，根據(jù)這個(gè)思考的結(jié)論：這n個(gè)向量的和是0，那么在封閉折線EFBA和封閉折線EFCD中，我們就有0，將兩式相加，有2

以上兩道教材原題都是從中點(diǎn)的角度來考慮，那么如果點(diǎn)不是中點(diǎn)，又該如何呢？教材在第71頁練習(xí)題第7題中給出了這類情形：

【教材原題3】如圖5，在△OAB中，C是AB上一點(diǎn)，且

圖5

圖6

【教材解讀】本題是將教材原題1中的中點(diǎn)C修改為三等分點(diǎn)C，雖然圖形稍有變化，但是仍然沒有擺脫原題1中的基本圖形的影響，我們可以取CB的中點(diǎn)D，構(gòu)造向量OD，如圖6所示，根據(jù)原題1中的基本圖形和結(jié)論，在△OAD中，有而這種解法所涉及的圖形在教材中又進(jìn)一步加強(qiáng)，如教材第72頁習(xí)題2.2中第10題：

【教材原題4】如圖7，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若試用a，b表示向量

圖7

這里我們就不再重復(fù)解答此題了，其解法和上題類似.

由此可以看到在教材原題1、原題3、原題4中，都是將點(diǎn)O與線段AB上某個(gè)定點(diǎn)之間所對(duì)應(yīng)的向量用不共線的向量來表示，而且我們發(fā)現(xiàn)向量前的系數(shù)之和為常數(shù)1，在這里我們自然就要思考這樣的問題：如果將點(diǎn)O與線段AB上的任意一點(diǎn)之間所對(duì)應(yīng)的向量用不共線的向量來表示，是不是向量前的系數(shù)之和也為常數(shù)1呢？教材上考慮到了這一點(diǎn)，我們一起來看課本第71頁例4：

【教材原題5】如圖8，在△OAB中，C為直線AB上一點(diǎn)，■

圖8

【教材解讀】此題只要將中的向量用向量表示即可解出，即，整理得（.有沒有發(fā)現(xiàn)向量前的系數(shù)相加為.從教材的編排順序上，我們不難看出編者的“用心良苦”，由直線上的定點(diǎn)逐步過渡到直線上的動(dòng)點(diǎn)，這就把定向量問題轉(zhuǎn)變到動(dòng)向量問題上來，這種潛在的轉(zhuǎn)變，符合學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中的從熟悉到陌生、從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，至此，我們不難得出以下結(jié)論：

【結(jié)論】已知向量不共線，C為直線AB上任一點(diǎn)，若那么s+t=1.

上述結(jié)論是教材原題5的結(jié)論的延伸，其證明思路與方法和教材原題5類似，根據(jù)C為直線AB上任一點(diǎn)，得共線，再據(jù)平面向量共線定理，有而后用向量表示向量即可得到.讀到這里，你會(huì)不會(huì)問：如果將向量用兩個(gè)不共線的向量且s+t=1，那么A、B、C這三點(diǎn)是否共線呢？對(duì)于這個(gè)問題，我們教材在習(xí)題上也有了安排，請(qǐng)看教材第73頁第15題：

【教材原題6】已知向量不共線，設(shè)實(shí)數(shù)，且滿足a+b=1，求證：A，B，P三點(diǎn)共線.

【教材解讀】此題主要還是為了增強(qiáng)學(xué)生對(duì)向量共線定理的理解，在此處證明三點(diǎn)共線，其本質(zhì)就是向量共線，即證明以點(diǎn)A，B，P中的任意兩點(diǎn)構(gòu)成的具有公共點(diǎn)的兩個(gè)向量共線，而向量共線的證明正是向量共線定理的作用所在，只要將b=1-a代入，化簡(jiǎn)即可得到共線得證，因此實(shí)施有效的轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

向量的線性表示是向量的一種重要的表達(dá)形式，是向量部分的入門知識(shí)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)向量知識(shí)的基石，因此我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要對(duì)教材認(rèn)真研讀，細(xì)細(xì)品味，體會(huì)編者在教材中安排相關(guān)習(xí)題的意圖，并適時(shí)加以小結(jié)、歸納，如果我們對(duì)每個(gè)知識(shí)板塊都能如此用心，那么高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就會(huì)變得順暢起來.