關注探究過程、結果、經驗積累的實踐探索

☉江蘇省儀征市第二中學 俞仁宗

“試卷評析”是每個數(shù)學教師都必須完成的一個教學環(huán)節(jié)，幫助學生總結得失并根據(jù)學生的錯誤進行尋根思底是試卷評析最基本的任務，除此以外，教師還應在試題研析的基礎上進行專題的開發(fā)，使學生能夠在有意義的試題拓展和延伸中得到能力的發(fā)展.

以下面的典型試題為例進行試題評析如下：

題目：若不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2對任意實數(shù)x恒成立，則滿足條件的實數(shù)a組成的集合為_____.

測試評析：

考查統(tǒng)計：528名考生中答對的僅有31人，得分率在6%以下.

錯因分析：①時間緊迫而放棄此題的解答；②存在根據(jù)絕對值的意義求解的思路，但最終在系數(shù)問題上止步而無法求解；③分類討論時覺得煩瑣而欠缺條理致使解題半途而廢.

教學反思：①教學趨于常態(tài)，對歸納、提煉、經驗積累等環(huán)節(jié)較為忽略；②教學中未對學生進行探究的策略引導，致使學生的思維在低層次的訓練中未能達到應有的深度；③對“通性通法”過于重視而忽略了“技巧”訓練.

評析教學預設：①從最簡單的入手并逐步深入，引導學生在對“區(qū)間套”的探索與思考中獲得“最優(yōu)點”；②引導學生在此題的評析、探索與反思中獲得對此類題目的解題領悟，并因此獲得經驗的積累和持久的掌握.

教學過程：

教師：研究|x-1|+|x-3|的最小值有哪些方法呢？

學生2：借助數(shù)軸來研究也行得通，如圖1，當x2∈［1，3］時，|x2-1|+|x2-3|是最小的.

圖1

教師：大家能對其中的一般性結論進行總結嗎？

學生3：（|x-a|+|x-b|）min=|a-b|.

教師：不錯，事實上，閉區(qū)間［1，3］上所有的點都能令其取得最小值.那么如果我們將絕對值增加至3個，如|x-1|+|x-2|+|x-5|，是否還能得出一個結論呢？

學生討論……

學生4：觀察發(fā)現(xiàn)|x-1|+|x-2|+|x-5|=|x-1|+|x-5|+|x-2|，經過這樣的調整，我們容易得出（|x-1|+|x-5|）min=4，2也正好在區(qū)間［1，5］之內，若把x=2代入即可獲得最小值4.

學生鼓掌.

教師：若是4個呢？比如|x-m1|+|x-m2|+|x-m3|+|x-m4|？

學生5：從圖2的觀察中可以得出，閉區(qū)間［m2，m3］上的點既能令|x-m2|+|x-m3|取得最小值，同時也能令|x-m1|+|x-m4|最小.因此可得出以下結論：若是2n（n∈N*）個絕對值相加，當x=mn或x=mn+1時，均能取得最小值.

圖2

圖3

學生6：可以發(fā)現(xiàn)x∈［mn，mn+1］時能取得最小值.

教師：若是奇數(shù)個絕對值相加又會怎樣？

教師：還有其他一般性的結論嗎？

學生進入再次的探究中…

學生8：從分析中可以得出，取閉區(qū)間上的點和取中間點均能歸結為“特征點”問題，也就是說對于K個絕對值相加，第即為需要的“特征點”.

教師：非常好！我們在線性規(guī)劃問題中曾經探尋過“尖點”來解決最值問題，這一“以點帶面”的經典范例也是處理數(shù)學問題的重要舉措.那么，絕對值前面的系數(shù)不是“1”的問題又應該怎樣解決呢？例如：求3|x-1|+5|x-3|的最小值.

學生9：可以將3|x-1|+5|x-3|轉化成3（|x-1|+|x-3|）+2|x-3|，從前面看，只要x∈［1，3］，|x-1|+|x-3|總有最小值，|x-3|最小能令整個式子取得最小值，則令x=3即可，其最小值是2.

學生10：化歸到上面的研究中也是可行的，將3|x-1|+5|x-3|拆成|x-1|+|x-1|+|x-1|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-3|+|x-3|，將前面3個“1”看成不同的點，原問題即轉化成了“8個點”的問題，中間一個即為|x-3|，把3代入就解決問題了.

學生鼓掌.

教師：大家再來看看以下兩個式子，大家能否以最快的速度求出其最小值呢？

①6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|；

②|x+1|+2|x+2|+|x-1|+4|x-7|.

學生11：①（6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|）min=6|3-1|+5|3-2|+17|3-3|=17.

學生12：②（|x+1|+2|x+2|+|x-1|+5|x-7|）min=|7+1|+2|7+2|+|7-1|+5|7-7|=32.

教師：大家在探究的過程中有什么體會？

學生13：我在探究時感受到了“重心”的味道.

教師：為什么呢？

學生13：我感覺在系數(shù)不同的情況下，系數(shù)較大能占據(jù)較大的主動權.

教師：太棒了！其他同學可有什么看法？

學生14：我的看法跟他不同，對于6|x-1|+5|x-2|+17|x-3|，三點的“重心”應該為：如果以2.5來代入運算，結果為20，還是比17大啊.

教師：大家能對其中的緣由進行解釋嗎？

學生15：“區(qū)間套”的最小子區(qū)間與“重心”并不一定是同一回事，略有“傾斜”的現(xiàn)象也不影響我們的判斷.

教師：那么，在“區(qū)間套”和“重心”這兩者之間，我們應看好哪個呢？

學生15：區(qū)間套.

教師：那么我最后作一下總結吧.

學生16：如果有2n-1（n∈N*）個絕對值相加，最中間的一個即為“特征點”；如果有2n個絕對值相加，將區(qū)域［mn，mn+1］的右端點作為“特征點”.

學生17：對于k1|x-m1|+k2|x-m2|+…+kn|x-mn|，首先求出k1+k2+…+kn，假如k1+k2+…+kn是奇數(shù)，選擇第個點代入運算；假如k1+k2+…+kn是偶數(shù)，選擇第+1個點代入運算.

學生19：絕對值內x的系數(shù)不是1又該怎么辦呢？

學生20：將系數(shù)從絕對值里提出來就沒有問題了.

教師：這一探究正好是華羅庚教授的一個觀點的印證，我們在解決復雜問題時要能夠“退”并“退”到最原始且又不失重要性的地方，這種足夠的“退”也是解決數(shù)學問題的一個訣竅.正確的“退”有利于我們探尋問題的出處，不僅如此，合理的“退”還能對命題者的心理與意圖進行準確的揣摩并因此在解題中順利搭建思維臺階，最終發(fā)現(xiàn)題目中的基本原理而令問題順利得解.大家要懂得復雜源于簡單、抽象源于具體，并因此在解決問題時對問題進行拆解、類比、圖示、列舉并最終順利獲得解題的突破.

（多媒體投影）

解：由題意可得|2x-a|+|3x-2a|≥a2恒成立?（|2x-a|+|3x-2a|）min≥a2.問題立即轉化成了求（|2x-a|+|3x-2a|）min問題.由

大家在上述探究之后還會一五一十地進行分類討論嗎？大家對于此題有沒有感覺這甚至是一條心算口答題呢？我相信很多同學都能脫口而出，給一答案.W