一類三階矩陣特征向量的特殊求法

江蘇省南通理工學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院 王欣欣

柯朗曾說(shuō)：“分析和構(gòu)造是數(shù)學(xué)的基本要素之一,正是互相對(duì)立力量的相互作用才構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)科的生命和崇高價(jià)值。”由此可見，創(chuàng)造性的推理活動(dòng)在數(shù)學(xué)的思維過程中是非常必要的，它可以使我們更深刻地理解數(shù)學(xué)，進(jìn)而擁有建構(gòu)數(shù)學(xué)對(duì)象的方法。而數(shù)學(xué)對(duì)于同一類問題，有時(shí)會(huì)賦予人們不同的解決方式，從而吸引人們?nèi)グl(fā)掘和探索其未知天空的廣袤。

矩陣?yán)碚撟鳛閿?shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，具有極為豐富的內(nèi)容。其中，大部分科學(xué)與工程問題都可以歸結(jié)為矩陣計(jì)算的問題，對(duì)于求解矩陣的特征向量，常規(guī)方法為解方程組（λE-A）x=0，而不同的學(xué)者對(duì)于這類問題提出了自己的見解。文獻(xiàn)[3]中，通過對(duì)給定矩陣的多項(xiàng)式函數(shù)和種子向量進(jìn)行分析，直接求得矩陣的特征向量。文獻(xiàn)[4]中，通過對(duì)特征矩陣進(jìn)行初等變換,給出了矩陣的特征根和特征向量的同步求法。本文則采用行列式的方法求解一類三階矩陣的特征向量。

一、相關(guān)定理

定理1 若λ1≠λ2≠λ3，則先求矩陣A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ1=α 的一個(gè)特征向量，則對(duì)于λ2=β，λ3=γ 對(duì)應(yīng)的特征向量求法類似。

由于特征向量為非零向量，故可以分以下三種情況：

（1） 若以下三個(gè)條件同時(shí)滿足：

則A 的對(duì)應(yīng)于λ1=α 的一個(gè)特征向量為：

（2）若以下三個(gè)條件同時(shí)滿足：

則A 的對(duì)應(yīng)于λ1=α 的一個(gè)特征向量為：

（3）若以下三個(gè)條件同時(shí)滿足：

則A 的對(duì)應(yīng)于λ1=α 的一個(gè)特征向量為：

注：如果（1）（2）（3）同時(shí)滿足，那么任選其一作為相應(yīng)的特征向量即可，其結(jié)果是相同的。

以下給出（1）的證明，而對(duì)于（2）（3）的證明與（1）類似，在此不再贅述。

其特征值為λ1=α，λ2=β，λ3=γ，且。

若同時(shí)滿足定理1 中（1）的三個(gè)條件，則對(duì)應(yīng)于特征值λ1=α 的特征向量應(yīng)為：

由式（4）以及λ1=α 為A 的特征值可得：

則（10）式可變?yōu)椋?/p>

定理2 若λ1=α，λ2=λ3=β，且時(shí)，求對(duì)應(yīng)于λ1=α 的一個(gè)特征向量的方法同定理1，對(duì)應(yīng)于λ2=λ3=β的特征向量分以下兩種情況：

定理3 若λ1=λ2=λ3=α，求對(duì)應(yīng)于λ1=α 的一個(gè)特征向量的方法分以下兩種情況：

二、例題

解：A 的特征多項(xiàng)式為：

所以A 的特征值為λ1=0，λ2=-1，λ3=1。

應(yīng)用定理1 可得：

則A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ1的一個(gè)特征向量為：

則A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ2的一個(gè)特征向量為：

則A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ3的一個(gè)特征向量為：

解：A 的特征多項(xiàng)式為：

所以A 的特征值為λ1=2，λ2=λ3=1。

應(yīng)用定理2 可得：

則A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ1的一個(gè)特征向量為：

則A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ2的一個(gè)特征向量為：

解：A 的特征多項(xiàng)式為：

所以A 的特征值為λ1=λ2=λ3=-1。，滿足定理3 中的（1）。

則A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ1的一個(gè)特征向量為：

解：A 的特征多項(xiàng)式為：

則A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ1一個(gè)特征向量為：

則A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ3的一個(gè)特征向量為：

則A 的對(duì)應(yīng)于特征值λ3的一個(gè)特征向量為：