在深度學習中培育推理素養
——《分數的基本性質》教學案例與思考

朱榮武（特級教師）

【教學內容】

蘇教版五年級下冊第66、67頁。

【教學片斷與思考】

一、推理素養培育，現狀如何？

推理，是人們工作和生活必備的素養與能力。但在筆者所見的一線教學中，推理能力培養仍然像“空中花園”，美麗而又虛無縹緲。人們一邊承認和贊嘆培育推理素養的價值和作用，一邊又將其培養任務束之高閣，致使培養目標落空。推理素養的培育不僅要有觀念上的認知認同，還要有前瞻性的培育路徑架構，更要有務實的教學引領和精準的思維引領。要依據教學內容，建立課時、學期、學年的推理素養培育目標體系，要在教學中通過推理思維的具體分析來設計和組織數學活動，讓學生在推理思維的親歷中獲得方法、體驗與經驗，從而切實發展推理素養。

二、深度學習，深在何處？

深，不等于難、不在于多。深應深在對知識原理的理解上，深在對數學思想方法的感知感悟上，深在思維過程的“更清晰、更深入、更全面、更合理”上。分數基本性質的發現過程主要是一個合情推理的過程，既要讓學生經歷“現象——發現——猜想”的歸納推理思維過程，還要讓學生經歷“從商不變規律到分數基本性質”的這種由此及彼的類比推理過程。在此過程中，既要讓學生體會“發現”的樂趣，還要讓學生擁有對“發現”負責的態度和改變或修正“發現”的勇氣以及理智。同時，依據對大量類似現象的觀察、比較、抽象、概括，進而發現并提出猜想，更是深度思維的行進過程。

三、發現分數基本性質的內在思維線索是什么？

從商不變的規律到小數的性質再到分數的基本性質，這些規律都是“從變中把握不變”的發現思維結果。讓學生從熟悉的舊知入手，再一次體會并應用這一思維方法去發現新的規律，思維方法的再現和遷移不僅能將學生帶到“最近發展區”，而且能有效激發學生的認知動機，為新的發現活動鋪設一條思維路徑，讓探究發現之路“有法可依”“有杖可拄”。

四、猜想要教嗎？

從數學思維的活動過程看，人們依據對現象的思考、質疑，發現有規律存在并嘗試用語言來描述，這即是發現問題的過程，對發現的問題進行物化整理得到一個結論性的內容即提出問題，這一結論性的內容就是一個有待驗證的數學命題。這樣，猜想也就誕生了，猜想的提出是思維創新的結果，具有十分重要的教育價值。兒童天生有猜想的沖動，但在數學學習過程中，猜想動機需要教師激發、猜想過程需要教師引領、猜想方法需要教師教授。誠如波利亞所言：我不相信有十拿九穩的方法，用它可以學會猜測……有效地應用合情推理是一種實際技能，并且像任何其他實際技能一樣，要通過模仿和練習來學會它。探索發現分數的基本性質時，教師要盡可能地引領學生經歷“原生態的”發現思維過程，鼓勵和引導學生展開觀察比較、質疑反思、抽象概括等思維活動，感受猜想過程，積累猜想經驗，在猜想活動中學會猜想。

基于以上思考，我在教學中進行了如下嘗試。

●教學片斷一：

問題一：觀察這幾組式子“6÷2→60÷20 和36÷18→6÷3”，你發現什么變了？是怎樣變的？什么沒變？

問題二：0.1=（）寫出一組等式，看看什么變了？是怎樣變的？什么沒變？

（學生獨立研究后，開始全班交流問題）

生：我發現每組式子中被除數和除數都變了，商都沒變。

生：第一組式子中被除數和除數同時乘10，第二組式子中被除數和除數同時除以6。

生：我想到了商不變的規律——被除數和除數同時乘或除以一個相同的數（0 除外），商不變。

師：是啊！商不變的規律就是從大量除法式子的變與不變的研究中歸納發現的。第二個問題呢？

生：0.1=0.10=0.100=0.1000=0.10000……可以寫出無數個。

生：這里雖然小數末尾的0的個數逐個增多，但小數的大小是不變的。

生：我想到的是小數的性質——小數的末尾添上0 或去掉0，小數的大小不變。

師：是的。小數的性質也是從大量變與不變的例子中研究發現的。看來，研究數學現象的變化特點，從變中把握不變，是發現規律的重要方法和途徑。

【思考：從數學學習論的角度看，小數的性質和商不變的規律都是數學抽象和概括共同作用的結果。學習者從“6÷2=60÷20、0.1=0.10=0.100”等特例入手，基于感性認識，通過分析和舍棄，抽出共同點撇開差異點，得到具體事物的簡單本質性的認識，然后把這些簡單本質性的認識聯系起來，通過歸納邏輯推廣到同類事物，從而形成一種普遍性的認識。在這一認知過程中，認知發現的思維起點和線索都是“于變中把握不變”，學生在學習小數的性質和商不變規律的時候已經在不經意間應用到了這一思維方法，對此已經有了較為深刻的體驗，積累了相關思維經驗。本節課通過兩個研究問題再一次喚醒這一思維方法和經驗，并讓學生在對這兩個規律發現過程和方法的比較、歸納中獲得“研究數學現象的變化特點，從變中把握不變，是發現規律的重要方法和途徑”這一方法性認知，思維方法、經驗的再現和重組，優化了學生的認知結構和方法系統，讓思維水平再一次得到了切實提升。這些，為本節課的學習奠定了堅實的方法基礎。】

●教學片斷二：

師：這兩個圓前后什么變了？什么沒變？

生：這里平均分的份數變了，從3 份變到6 份再變到9 份，圓的大小沒變。

生：涂色部分的大小也沒變。

師：比較這些分數，你有什么發現？

生：它們是相等的。

師：相等？這怎么可能？它們的分子和分母都不一樣啊？

生：雖然它們的分子分母不同，但表示涂色部分的大小是一樣的。

生：是的，涂色部分的大小始終是沒變的。

生：無數個。

（學生在《學習單》上先研究再交流展示）

生：從左往右看，這里分子分母都乘了2、4，反過來都除以了2、4。結果還是相等的。

師：比較這三組分數的分子分母的變化特點，說一說它們都是怎么變的？

生：分子分母要乘都乘，要除都除。

生：乘的數都一樣，除的數也都一樣。

生：如果乘或除的數不一樣的話，分數的大小就變了。

生：那個數必須是同一個數才行，如果是不同的數，結果就不一樣了。

師：也就是說同時乘的數是一個小數，分數的大小也不變。

師：通過剛才的研究，你們能說說自己有什么發現嗎？

生：在分數里分子分母變了，但分數仍可以相等。

生：分子分母同時乘一個數，或者同時除以一個數，大小不變。

生：這個數必須是同一個數。生：而且不能是0。

師：為什么不能是0？

生：因為0 不能做除數，也不能做分母。

師：是的。大家能不能把這個發現總結的更簡潔一些？

……

【思考：猜想的生成總是源自對特例的觀察，人們對特例相似性的歸納總結便初步得出了一個猜想。然后在好奇心的驅使下，人們會不斷地尋找相關例證來證實或證否已有猜想，若進一步的例證能夠證實已有猜想，則猜想的可信度進一步得到強化，思維進一步清晰，內容進一步明朗。在此基礎上通過數學語言予以總結描述，這樣就得到了一個明確陳述的一般命題，對命題的進一步例證直至證明，猜想才可以成為真理。這即是歸納推理的一般過程。在兒童的世界里，尤其是在課堂學習的環境下，兒童的思維尚達不到這樣的自覺，仍需要教師的引領和引導。本節課，我以歸納推理的思維過程為線索，以切實經歷歸納推理的思維過程為目標，帶領學生經歷了“建立特例——觀察——比較——概括——引發聯想——初步得出猜想——再次研究特例——強化猜想——歸納總結”等思維過程，不僅發現了數學知識，更積累了“歸納——猜想”的數學活動經驗，進一步增強了發現問題、提出問題的能力。】

●教學片斷三：

師：同學們真是厲害！從兩組相等的分數中得到了一個數學發現，為了穩妥起見，咱們再找一個例子來驗證一下吧。

（呈現下圖）

師：從中你發現“變與不變”了嗎？

生：我發現它們的長度是不變的，單位變了，數也變了。

生：這三個分數是相等的。

師：這個例子能說明剛才的發現是對的嗎？

生：能！分子分母同時乘或除以了10、100。

師：現在你們確信這個發現是對的嗎？

生：確信！

師：為什么底氣這么足？

生：因為我們剛剛研究過了。

生：因為分數的分子和分母是同時乘或除以一個相同的數，0除外。

生：因為這些分數的分子分母變了，但是涂色部分的大小是不變的，所以始終相等。

師：是的，同學們說的有道理。但是數學家和你們的想法不一樣，他們認為雖然在這三組分數中是這樣，但是分數有無數個，得保證所有的分數都有這樣的特點才行，你們覺得有道理嗎？

生：有道理。如果有的分數不是這樣，那這個發現就不對了。

師：是啊！那怎么辦呢？

生：那就一直研究下去。

生：那不行，這樣你一輩子也研究不完的。

生：那怎么辦？

師：這時候，就需要想辦法“證明”了。今天老師就帶領大家做一次“證明”好不好？大家還記得除法的商不變規律吧，分數和除法是有聯系的，你能用商不變的規律來解釋說明分數的基本性質嗎？

（學生展開說理活動）

【思考：一個數學發現（猜想）是否正確，還需要驗證，這一點學生是理解并認同的，這說明五年級的學生已經具備了一定的科學態度和理性精神。但這種態度和精神尚有局限性，其一他們認為驗證就是繼續舉例，方法欠缺；其二他們認為只要再找到若干正例即可說明發現是對的，嚴謹性不足。于是在以1 分米的長度為例驗證后，我和學生展開進一步的對話，并以數學家的想法讓學生知道：驗證，還有很多工作要做。這種“理智上的誠實”品質是需要結合具體的學習活動來培養的。在學生思維受阻之時，及時引出“證明”這一邏輯論證方式，盡管學生尚不理解證明的真正內涵，但至少可以知道：“證明”是一種有效而且必要的方法過程。用商不變規律來解釋說明，這本質上是一個類比推理的過程，雖算不上嚴格意義的證明，卻以兒童可接受的方式經歷了“證明”過程，并對類比推理的思維過程和方法有了深刻的體驗。】