梯形面積問題之求解

何秋霞

摘要：以向量為背景研究梯形的相關問題；從幾何（勾股定理）、三角函數、向量分解、坐標的視角給出梯形面積的不同求法。

關鍵詞：梯形面積；向量；基底；三角函數；坐標

以梯形為背景考查向量的相關問題是常見的，但以向量為背景考查梯形相關問題，就顯得奇異。那么，向量視角下，如何研究梯形的相關問題呢？是以向量為手段，還是轉化為平幾？

【點評】（1）證明一個四邊形是梯形，關鍵是找到那一對平行的邊——解析一是通過基底表示來完成了這一證明。而且，這一想法應該是自然生成的。（2）本題求梯形的面積中，最難的是如何求梯形的高。由基底想到求四邊形的各邊長，再通過勾股定理完成高的計算，應該說是基底思想的基本應用。很明顯，這種方法計算量超大，能改進嗎？

2. 視角二：分解+三角函數

在筆者展示學生提供的解法一時，有學生提出：筆者改卷時判分存在問題。筆者將其求解過程投影，并要求其講述自己的思維過程。

【點評】（1）解析二存在一個問題：E、P、G、Q四點在同一條直線上嗎？筆者將該解法投影后，就有學生指出上述問題。那么，能完善這種解法嗎？首先證明四邊形PDFQ為平行四邊形，其次證明PE∥AB、QG∥AB。遠遠沒有解析一快捷。（2）求梯形的面積較解析一簡便了許多。求梯形的高，應用三角函數定義簡化了計算。另外，也可以考慮求B到PQ的距離。方法和前面類似。

3. 視角三：分解+相似比

解析二也給我們提供了一種求高的想法——將AP分解，將求高轉化為求三角形的相似比。

【點評】（2）將梯形的高轉化為三角形的相似比，避開了向量的復雜計算。應該是向量法（基底思想）中最簡單的方法。

4. 視角四：坐標法

【分析四】解決向量問題的另一個常用方法就是建立直角坐標系，將向量的運算轉化為坐標的運算。如何建系呢？以A為原點或以B為原點，AB所在直線為x軸建系，都可以。

【點評】坐標法求得P、Q的坐標，恰巧的是P的縱坐標就是梯形的高。一步，既解決了梯形中平行的證明，又解決了梯形的高，妙！

縱觀以上四種解法，從最開始的迷茫，到有想法（繁瑣的計算），再到簡化計算，每一次思考都有一個層次，而通過比較，自然在以后的求解中會優先選擇坐標法——畢竟由基底給定的向量，其坐標也是一定的，進而就能解決問題了。解析三給人的沖擊也是蠻大的——給定基底，自然蘊涵了向量的加法，也就存在比例問題。基底思想是統一思想：將所有向量用兩個已知的向量表示，將所有向量的運算轉化為兩個已知向量的運算，是數學中重要的一種思想。endprint