二次函數(shù)極差的規(guī)律與應用

劉國華

江蘇省海安市實驗中學 (226600)

二次函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)之一，備受命題者的青睞，許多高考題、調研試題均以二次函數(shù)為背景考查學生素養(yǎng)．其中雙重最值問題綜合性強，難度大，能力要求高，是學生眼中的難題．筆者從熟題入手，優(yōu)化處理方法，揭示其變化規(guī)律，幫助學生提高解決此類問題的能力．

1.再現(xiàn)熟題，方法優(yōu)化

為表述方便，將函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m,n]上的最大值與最小值的差稱為函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m,n]上極差．

引例若二次函數(shù)f(x)=a(x-h)2+k(其中a≠0)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上的極差．

解析:記區(qū)間[x0-l,x0+l]中點x0到對稱軸x=h的距離為d，則d=|x0-h|≥0．

(1)若d>l，極差為|f(x0-l)-f(x0+l)|=

|2al(2x0-2h)|=4|a|l|x0-h|=4|a|ld．

(2)若d≤l．

①當x0-l≤h

②當x0≤h≤x0+l，即d=h-x0時，極差為|f(x0-l)-f(h)|=|a(x0-l-h)2|=|a|[(h-x0)+l]2=|a|(d+l)2．

由①②可知，若d≤l，極差為|a|(d+l)2．

綜合(1)(2)得：若d>l，極差為4|a|ld；若d≤l，極差為|a|(d+l)2．

2.反思結果，規(guī)律顯現(xiàn)

揣摩上述結果，分析二次函數(shù)f(x)=a(x-h)2+k(其中a≠0)在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上的極差的影響因素，不難得出如下結論：

規(guī)律1 在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上，|a|越大極差越大．

規(guī)律2 在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上，l越大極差越大，即區(qū)間越長極差越大．

規(guī)律3 在區(qū)間[x0-l,x0+l](其中l(wèi)>0)上，d越大極差越大，即區(qū)間中點到對稱軸的距離越遠極差越大．

由規(guī)律3易得規(guī)律4，當d=0，即二次函數(shù)的對稱軸處于區(qū)間中點時，極差取到最小值|a|l2．

以上4點指明了二次函數(shù)在閉區(qū)間上最大值與最小值的差(即極差)的變化規(guī)律．從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，多思考一點，形成直達本質的認識，有利于提高學生解決問題的能力．

3.應用規(guī)律，難題突破

例1 (2017全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試A卷第9題)設k,m為實數(shù)，不等式|x2-kx-m|≤1對所有x∈[a,b]成立，則b-a的取值范圍是．

例2 (2018年江蘇省海安市高三期中調研)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(其中a,b,c為實數(shù)，且a≠0)，若對于任意b,c，存在x0∈[1,2]，使得

|f(x0)|>1，則實數(shù)a的取值范圍是．

例3 (2018年南師大附中高三期中考試)已知實數(shù)a,b,c∈[0,4]，若a2,b2,c2是公差為2的等差數(shù)列，則|a-b|+|b-c|的最小值為．

取函數(shù)f(x)=x2，問題轉化為：若0≤a

例4 (2018年金陵中學高三12月檢測)已知偶函數(shù)y=f(x)滿足f(x+4)=f(4-x)，當x∈

圖1

解析:因為y=f(x)是偶函數(shù)，所以f(x+4)=f(4-x)=f(x-4)，即函數(shù)f(x)的周期為8，圖像如圖1所示．

|f(xi)-f(xi+1)|表示函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi,xi+1]上的極差，由結論2知|f(xi)-f(xi+1)|≤8．又因為2018=8×252+2，所以要使n+xn的值最小，須x1=0，xi+1=xi+4(i=1,2,…,253)，所以n=254，x254=x253+2=252×4+2=1010，故n+xn的最小值為1264．