2018年北京卷(理科)第19題的推廣
2019-06-11 12:47:40曾立梅胡芳舉
中學數學研究(江西) 2019年5期
關鍵詞：拋物線
曾立梅 胡芳舉
湖南省桃江縣第一中學 (413400)
2018年北京卷(理科)第19題為：
已知拋物線C：y2=2px經過點P(1，2),過點Q(0，1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍；
解：(Ⅰ)略;(Ⅱ)由題設知:拋物線C的方程為y2=4x.
圖1
注意到直線QP與拋物線C相切，于是可將該題作如下推廣:
圖2
證明:以O為原點，OQ為x軸建立直角坐標系．設直線AB的方程為x=ky，點P(x0,y0),Q(m,0),A(ky1,y1),B(ky2,y2)．
原點O與直線PQ是一對極點極線，由此可得直線PQ的方程為dx+ey+2f=0．將點P(x0,y0),Q(m,0)代入以上方程得dx0+ey0+2f=0，dm+2f=0(*).
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