對一道教材習題的探究

陳建海

福建省莆田第九中學 (351100)

教材中的例習題是經(jīng)過專家精心設(shè)計、反復(fù)推敲后選定的，大多蘊含著深刻的背景，正如前蘇聯(lián)數(shù)學家奧加涅相所說：“很多例習題潛在著進一步擴展其教學功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”教材是高考復(fù)習之本，也是高考、競賽命題之源.許多高考、競賽試題都具有“源于教材，而高于教材；題在書外，但根在書中”的特點.教學中，在學生完成例習題基礎(chǔ)上，教師要有意識地引導學生對一些典型例習題進行深入的探究，揭示在題目條件的表象下隱藏的某種數(shù)學規(guī)律及深刻內(nèi)涵，深化對數(shù)學的理解，感悟數(shù)學的本質(zhì)，實現(xiàn)知識的“再創(chuàng)造”.

人教A版選修4—4第15頁習題1.3題6是：

一、進一步探究習題的結(jié)論

在原題的條件下，還可以得出什么有用的性質(zhì)？

(2)若OA⊥OB，由(1)得m=

由此可得橢圓對中心張直角的弦的另三個性質(zhì)：

二、由橢圓到雙曲線、拋物線的探究

著名數(shù)學教育家G·波利亞說過：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地成長，找到一個以后，你應(yīng)當在周圍找一找，很可能附近有好幾個.”以上性質(zhì)揭示了橢圓對中心張直角的弦的另三個性質(zhì)，那么，雙曲線、拋物線是否具有類似性質(zhì)？

只要把上述探究過程中的“b2”換為“-b2”，可得雙曲線的類似性質(zhì)：

性質(zhì)1、2,揭示了橢圓、雙曲線對中心即張直角的弦的性質(zhì)，對于拋物線y2=2px(p>0),由于它是無心曲線，我們可以探究其對原點O張直角的弦是否具有類似性質(zhì)？

設(shè)直線l：x=my+n(n≠0)，代入拋物線方程y2=2px(p>0),得y2=2p(my+n),即y2-2pmy-2pn=0..設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，據(jù)韋達定理，得y1+y2=2pm,y1y2=-2pn. 則x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=m2(-2pn)+mn·2pm+n2=n2.于是

(1)OA⊥OB?x1x2+y1y2=0?n2-2pn=0?n=2p(注意到n≠0).

(3)若OA⊥OB，由(1)得n=2p，則x1+x2=my1+n+my2+n=m(y1+y2)+2n=m·2pm+2·2p=2pm2+2·2p,弦AB的中點M的坐標為(pm2+2p,pm).進而得|AB|=2|OM|=

由此可得拋物線y2=2px(p>0)對原點O張直角弦的性質(zhì)：

三、探究結(jié)論的應(yīng)用

以上所得性質(zhì)對解決一類高考及競賽試題具有獨特功效，可以引導學生利用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.

(2)設(shè)直線l是圓O:x2+y2=2上動點P(x0,y0)(x0y0≠0)處的切線，l與雙曲線C交于不同的兩點A,B，證明∠AOB的大小為定值.

例3 (2004年全國高考重慶卷試題)設(shè)p>0是一個常數(shù)，過點Q(2p,0)的直線與拋物線y2=2px(p>0)交于兩點A,B，以線段AB為直徑的圓H(H為圓心)，試證明拋物線的頂點在圓H的圓周上；并求圓H面積最小時，直線AB的方程.

例4 (2015年全國高中數(shù)學聯(lián)賽廣東賽區(qū)預(yù)賽試題)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上有兩個動點A(x1,y1),B(x2,y2)(y2<0).(1)略；(2)若OA⊥OB，求線段AB中點M的軌跡方程.

以上通過對一道教材習題的結(jié)論的探究、引申，得到了橢圓、雙曲線和拋物線的一類性質(zhì)，并應(yīng)用之解決有關(guān)問題，使學生經(jīng)歷了在教師引導下的“問題---探究—引申—應(yīng)用”的“再創(chuàng)造”過程.引導學生對一些典型例習題開展自主探究，發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，探究合理的數(shù)學結(jié)論，有助于培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題的能力；有利于提高學生學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力；有利于學生樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).