數學教學的邊界在哪里？

摘要：理清數學教學邊界的價值在于：讓教師的教學、學生的學習、教學的評價有明確的標準、可操作的載體、可實施的內容和具體的要求;數學教學邊界的確定要遵循數學知識的階段性與發展性、數學概念的嚴謹性與合理性、數學方法的程序性與靈活性、數學思維的靜態性與動態性、數學活動的過程性與結果性等“五個相結合”原則;數學教學要嚴格遵守“知識內容”邊界，正確理解“數學概念”邊界，準確把握“學生認知”邊界。

關鍵詞：數學教學 邊界 價值 原則 方法

一線教師經常會有一些教學困惑：某個內容講不講？某個結論能不能在解題中直接運用？學生這樣解答扣不扣分？數學教學的過程與結果的分寸如何把握？解題中回歸本質與模型套用的關系如何處理？凡此種種，皆指向一個核心問題：數學教學的邊界在哪里？

一、確定數學教學邊界的價值

對于數學教學的“邊界”問題，一線數學教師、課程與教材專家、教研與命題人員的關注點不盡相同。受現行評價體制的影響，不少一線數學教師關注學生的應試能力、考試的分數。反映到教學中，充滿功利色彩的“越界”和“缺位”現象比比皆是。課程與教材專家關注的是如何制定課程、教材與教學的邊界;教研與命題人員需要研究這個“邊界”，充當連接課程、教材與教師、教學的橋梁角色。一方面，通過課程研究與解讀、教材分析與培訓、教學診斷與指導、試題命制與評價，影響教師的教學行為和學生的學習行為，力求體現教材意圖，落實課程目標;另一方面，發現、收集并反饋教學問題、困惑和教師建議，為課程設計、教材修訂提供參考。

因此，有必要確定數學教學的邊界，在課程、教材與教學三者間找到契合點。數學教學的邊界是教學的“底線”，有了這個邊界，教師的教學、學生的學習、教學的評價就會有明確的標準、有可操作的載體、有可實施的內容、有具體的要求，數學教學活動才能在邊界內自由地、靈動地、創造性地開展。

二、數學的發展無邊界，教學有邊界

1.數學的發展沒有邊界。

數學知識呈螺旋式上升、波浪式前進的趨勢。如“1+1=2”，這是幼兒園小朋友也不會懷疑的結論，那么“1+1為什么等于2”，看似了然的問題如何解釋呢？學生能說清楚嗎？教學時可以先承認其正確性，至于原理不妨先放一放，到了《數論》的學習與研究時再給予理論的解釋;隨著數學的發展，數學各分支更加細化，但又相互交叉融合。比如三角函數和指數函數是兩個不同的分支，但數學分析的出現，又讓二者在冪級數上得到了統一;復數、向量、三角函數等知識經常在同一問題的解決上相遇。作為數學教師，應該用高觀點理解數學內部知識間的聯系、數學與外部的聯系，理解數學發展的趨勢，對數學知識“從哪里來，會向哪里去、怎么去”了然于心，對教學內容有前瞻性、本質的認識。

2.數學的教學有邊界。

國家課程標準提出了課程理念，制定了課程目標，確定了課程內容，給出了課程實施方案，明確了教學評價要求，教材是課程標準的具體化，這些應該成為數學教學的邊界。“邊界意味著一種自由，邊界內的任何研究都是自由的、合規范的。同時，邊界也意味著一種制約，邊界的規范就是邊界的束縛，邊界內的自由也就意味著邊界外的不自由。”一方面，對課程標準、教材內容、學生認知的“邊界”有敬畏之心，一切數學教學活動都必須在這些“邊界”內開展，不可越雷池半步;另一方面，要在“邊界”內大膽探索與實踐，自由地開展數學教學活動。

數學教學邊界的確定要遵循“五結合”原則，即數學知識的階段性與發展性有機結合，數學概念的嚴謹性與合理性有機結合，數學方法的程序性與靈活性有機結合，數學思維的靜態性與動態性有機結合，數學活動的過程性與結果性有機結合。

三、數學教學的邊界在哪里？

數學教學的“邊界”是多角度、多維度的，本文僅從“知識內容”“數學思維”“學生認知”等3個方面進行闡述。

1.嚴格遵守“知識內容”邊界。

數學知識、數學結論猶如浩瀚的海洋。如果不加限制地延伸，就可能拓展出超出學生認知基礎和承受能力的知識內容。因此，數學教學必須嚴格遵守“知識內容”的邊界。

在一次教研活動中有位老師提問： “已知直線l1∶y=k1x+b1與l2∶y=k2x+b2，則l1⊥ l2k1·k2=

-1。這個命題在中考中能否直接用？”

筆者直言：初中階段肯定不能直接用。

該校校長（筆者的好友、教初中數學）和筆者針鋒相對：“我認為可以直接用，即使學生用了大學的知識，只要用得正確，都不能算錯，況且我們還鼓勵學生自學呢。”校長的振振有詞似乎很有道理。我反問：“如果允許初中學生用這個結論，那么教學會出現什么狀況呢？”現場頓時沉默了。

筆者知道，校長明知這個結論在初中數學解題中直接用是“越界”行為，只是有意用這樣一個極端的例子表明態度而已。類似的問題筆者幾乎每天都能碰到。由此筆者又想到了在另一個場合，一位老師與筆者的對話：“物高之比等于影長之比需要證相似嗎？”

筆者：“你的問題我很難回答，如果證明一定不錯。”

老師：“不證明可以嗎？證明有點繁瑣，還要重畫圖。”

筆者：“還是以教材要求為準吧。”

這是蘇科版初中數學教材九年級下冊《6.7 用相似三角形解決問題》中的結論。教材在介紹了“平行投影”概念后，通過在同一時刻分別測量三根木桿及在陽光下的影長，進而得出結論：“在平行光的照射下，在同一時刻，不同物體的物高與影長成比例”，但這個結論在教材中并沒有用黑體字。

老師們的意圖很明顯：如果一些結論可以直接用，那么在考試中，學生就可以走“捷徑”，既節約了時間，也省去好多事。

真的會“省事”嗎？我們不妨設想：如果類似結論允許直接用，會對教學產生什么影響？課堂上教師必然會補充大量的結論讓學生機械記憶，教師、學生只關注結論是什么，不會思考、探究結論的由來，如果學生失去了經歷結論探究過程的體驗，那么學生的學習則毫無樂趣可言，學業負擔勢必加重，數學思維與探究能力勢必削弱。

這不禁讓筆者思考：數學教學的目的是什么？是記住一大堆結論，然后套用結論解題嗎？顯然不是！數學教學的目的是促進學生的生命成長和全面發展。具體地說，數學教學應該是“一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”，“既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的理性思維和創新能力方面的不可替代的作用”。如果教學一味讓學生死記硬背大量數學結論，考試時讓學生套用現成結論，那學生數學學習還有什么快樂可言，還談什么學生思維發展，更不用說理性思維、創新能力和核心素養了。

客觀地說，當今的教育最不缺的是理念、思想和模式。新課程理念、教育目標和正確的教學方式教師都心知肚明，現在迫切需要解決的問題是如何讓正確的教學價值取向在數學教師心底扎根。除了在命題上強調問題的開放性、探究性、過程性和發展性，通過教學評價引導教學外，一定要旗幟鮮明地確定好數學教學的“知識內容”的邊界：教學活動一定要在課程標準要求內、在現行數學教材內容中開展。凡教材中明確的定義、黑體字印刷的公理、定理、法則和公式才可以直接運用，一些所謂的模型、技巧必須回到教材知識內容上來。

2.正確理解“數學概念”邊界。

將“數學概念”與“知識內容”“學生認知”并列，從邏輯上看不太合理，但“數學概念”教學“越界”現象比較突出，因此作為特別的內容專門闡述。

教材中的每一個數學概念在相應學段是明確的、規范的，有清晰的外延和內涵。但數學概念又是動態的，會隨著數學自身的發展、隨著學生認知進步而加深，因此數學概念有時需要結合具體情境加以理解和運用。

【問題呈現】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm， BC=8 cm。有一動點P從B點出發，沿射線BC方向移動，速度是2 cm/s，在P點出發2 s后，另一個動點Q從A點出發，沿射線AC方向移動，速度是1 cm/s。若設P出發后時間為t s。（1）用含t的代數式分別表示線段AQ、PC的長度，并寫出相應的t的取值范圍。（問題（2）、（3）略）

圖1

有幾位教師糾結于該題中的第（1）問“t的取值范圍”是“t>0”還是“t≥0”或“t≥2”。這里BP=2t cm（t≥0），AQ=（t-2）cm，他們認為：若t=0，則BP=0，則“不存在線段CP”;若0≤t≤2，則AQ=0，也“不存在線段AQ”。

【問題剖析】這是對“線段的長度”概念脫離實際情境的片面理解。點P、Q的運動是從初始位置出發的連續過程，所以t的取值是從0開始的連續狀態，因而BP、AQ的長度也是從0開始的，其中t=0和t=2分別表示點P、Q的初始狀態。因此，第（1）問答案應該是：當0≤t≤2時，BP=2t cm，AQ=0;當t>2時，BP=2t cm，AQ=（t-2）cm。即t可以為0，也可以為2。

在研究數學概念時，既要把握好概念理解的邊界，掌握其外延與內涵，又不能離開具體的問題情境孤立地理解。教學中要引導學生辯證地、聯系地思考問題。如圓的切線可以看成由圓的割線繞一個交點旋轉到另一個交點與這個交點重合的特殊位置，即直線與圓的兩交點間線段的長變為0，割線的極限位置就是圓的切線。又比如，絕對值表示數軸上一個點到原點的距離，但絕對值是可以為0的。再如：從嚴格的定義上說，平行四邊形與梯形都是“一組對邊平行”的四邊形，平行四邊形是“另一組對邊也平行”的四邊形，而梯形則是“另一組對邊不平行”的四邊形，二者之間的概念是不相容的;但從圖形變化的角度看，當梯形的另一組對邊運動至平行狀態時就得到平行四邊形。從這個意義上說，平行四邊形完全可以看作是特殊的梯形。這就是對數學概念一種動態的、連續性、辯證的理解。

數學教學既要尊重數學概念的規范性、階段性特點，又要動態地、發展地理解數學概念的邊界，不能讓數學概念束縛學生的思維。

3.準確把握“學生認知”邊界。

上海師范大學王榮生教授認為：“教什么遠比怎么教更重要。”數學教什么、起點在哪里、經過哪里、終點在哪里，這是教學設計和實施必須思考的問題。數學教師要及時準確地把握學生的“認知”邊界，才能精準施策，開展有效教學，避免出現偏離學生“數學認知”邊界的現象。然而，現實的數學課堂中，對“學生認知”理解的“缺位”或“越界”現象屢見不鮮。

【問題呈現】問題1.教者通過幾個現實情境，引入了“正數和負數”的概念;

問題2.“-1”的符號“-”怎么讀？

有學生讀作“負號”，有學生讀作“減號”，教師解釋：在運算時“-”是運算符號，讀作“減號”;像“-1”中的“-”號是性質符號，讀作“負號”……

問題3.將數+7，-9，[13]，-4.5，998，0，-[910]填入相應的集合內：

正數集合{? ? ? ?…};負數集合{? ? ? ?…};非負數集合{? ? ? ? ?…}。

教者繼而增加一個填空：“非負整數集合{? ? ? ?…}”，結果有學生在所給定的數中，除了“-9”外的所有數都填入了非負整數集合。

【問題剖析】問題1實際上說明教師沒有準確把握學情。那么，學生對“負數”的認知起點是什么呢？以人教版數學教材小學六年級下冊《負數》內容為例，教材通過“氣溫的零上溫度和零下溫度”“儲蓄本上支出與存入”“走路的向西與向東”等現實情境引入了“正數”與“負數”的描述性概念、表示方法，學生知道了相反意義的量，并學會了數的簡單分類、大小比較和在直線（數軸）上表示。說明小學階段對“負數”已經有了一定的認知，因此這節課中對負數引入方式反映了教者對“學生認知”理解的缺位。教學中，應該利用學生已有認知，從數學內部問題出發展開教學活動。如：給出數+7，-9，[13]，-4.5，-20%，+8848，-6000，0，-[910]，讓學生說出這些是什么數，并賦予這些數實際意義……這是準確把握學生的認知邊界，通過學生熟悉的數學問題激活已有認知，使教學不斷深入的應有之舉。

問題2的“-1”中“-”號的讀法，就學生現有的理解與認知而言，讀作“負號”或“減號”都可以預見。但本節課中教師對讀作“負號”的解釋則顯得空洞、無力，什么是“性質符號”、什么是“運算符號”，學生并沒有真正理解。教者必須認識到讓學生弄清二者區別的重要性，“-”號不僅是為了表示“負數”之用，也為后面參加有理數的“運算”之用。其實，教者只要給一個算式“-3+（+2）-（-5）”讓學生讀題，學生很快便能正確地讀出“負3加正2減負5”，對所謂的“性質符號”與“運算符號”的意義不言自悟，無須教師太多的提醒和解釋。

問題3中，教者的意圖很明顯，“非負整數”是指“不是負數的整數”，即整數范圍內的“0和正整數”，這也是許多人的習慣理解。然而，學生為什么得出了“不是負整數的數”——“在所給的數中除負整數以外的所有數”的錯誤判斷呢？細細分析，發生這種現象并不奇怪：由于學生是在填“非負數集合”的練習后填“非負整數集合”，而“非負數”是指“不是負數的數”（這里的數是學生目前認知的數，即有理數），受此影響，學生必然得出“非負整數”是指“不是負數的整數”的結論，這實際上是“非負數”問題的負遷移作用。

那么，“非負整數”到底指什么呢？有必要追根溯源。翻開義務教育數學課程標準、高中數學課程標準和中學數學教材，包括中高考試卷，均未發現“非負整數”這樣的名稱和概念。2010年出版的《數學大辭典》中這樣寫道：“整數可以分成正整數、零與負整數。正整數亦稱自然數。”現行教材把0看作自然數，《現代漢語詞典》對“自然數”的解釋是“零和大于零的整數”。因此，教者所說的“非負整數”——“0和正整數”實際上就是自然數。筆者將這個問題放到數學QQ群讓老師們討論。一位老師貼出“百度”的內容：“自然數是指表示個體的數，即由0開始，0，1，2，3，4，……一個接一個，組成一個無窮的集體，即指非負整數。”“自然數集是全體非負整數組成的集合。”并提出了自己的觀點：“整數、有理數、實數這些詞都是對數的范圍做的限定，然后前面加上非負，也是在這個范圍中把負的去掉即可，沒有必要給出定義。”筆者認為：百度的內容只能供參考，不可作為佐證。經過多邊查證，終于在《數學辭海（第一卷）》發現了“非負整數”的解釋：“非負整數即‘自然數。”然而，從學生的認知上說，將“非負整數”理解為“不是負整數的數”也沒有什么不妥，他們默認的全集是他們所接觸過的有理數集，而教者之所以理解為“不是負數的整數”是源于自己默認的全集是整數。教者應該思考：課程標準、教材為什么不明確給出“非負整數”的定義？很明顯，“非負整數”概念完全超出了學生的“認知”邊界，也超出了課程標準及教材的“內容”邊界，可見這是教者“慣性思維”的結果，反映了教學的隨意性。

維果茨基認為，學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平;另一種是學生可能的發展水平，也就是通過教學所獲得的潛力。兩者之間的差異就是最近發展區。“最近發展區”其實就是學生的“認知”邊界。教師全面了解與準確把握學生的“數學認知”邊界是教學設計和課堂教學的前提。教師的作用就是在最近發展區內，幫助學生搭建腳手架，讓學生通過探究、思考達到可能的數學發展水平。“腳手架”有時就是一個關鍵的點撥，有時只是一個簡單的暗示。

（作者單位：江蘇省泰州市教育局教研室）