由一道方程應用題的解法帶來的啟示

摘?要：由于數學學科的高度抽象性和嚴密邏輯性，使得學生在解決數學題目時，不會去分析思考題目中的已知條件，尋找已知條件之間、已知條件與所求結論之間存在的關系，致使解題時困難重重。

關鍵詞：方程;應用題;解法;啟示

由于數學學科的高度抽象性和嚴密邏輯性，使得學生在解決數學問題，不會去分析思考，解題時往往困難重重，特別是將所學的知識割裂開來，不能很好地將數學知識聯系起來進行綜合應用，下面通過一道方程應用問題的解法，引導學生通過思考分析，解決這些應用問題，進而通過聯系學過的相關知識，找到簡捷的解題途徑。

在復習初中數學八年級方程與方程組、不等式與不等式組的應用等相關知識時，可選擇下面的一道應用問題。

英才實驗中學為了改善學校辦學條件，更新教育裝備和教學設施，計劃購進一批乒乓球臺和電子白板觸摸一體機，經過市場咨詢知道，購買三個乒乓球臺和兩臺電子白板觸摸一體機需要4.8萬元，購買兩個乒乓球臺和一臺電子白板觸摸一體機需要3萬元。

（1）求每個乒乓球臺和每臺電子白板各多少元。

（2）根據學校實際，需購進乒乓球臺和白板共40個（臺），總費用不超過70萬元，但不低于60萬元，請你通過計算求出有幾種購買方案，哪種費用最低。

解：（1）設每臺乒乓球臺x萬元，每臺電子白板y萬元，則：

3x+2y=5.6

2x+y=3?解得：x=0.4

y=2.2

所以，每個乒乓球臺0.4萬元，每臺電子白板2.2萬元。

（2）方法一：

設購進乒乓球臺a個，電子白板（40-a）臺，則：

0.4a+2.2（40-a）≥60

0.4a+2.2（40-a）≤70

解得：10≤a≤15.6

因為a為正整數，所以a=10，11，12，13，14，15，由此可知共有六種購買方案：

方案一：購進乒乓球臺10個，電子白板30臺。

總費用為：0.4×10+2.2（40-10）=70萬元

方案二：購進乒乓球臺11個，電子白板29臺。

總費用為：0.4×11+2.2（40-11）=68.2萬元

方案三：購進乒乓球臺12個，電子白板28臺。

總費用為：0.4×12+2.2（40-12）=66.4萬元

方案四：購進乒乓球臺13個，電子白板27臺。

總費用為：0.4×13+2.2（40-13）=64.6萬元

方案五：購進乒乓球臺14個，電子白板26臺。

總費用為：0.4×14+2.2（40-14）=62.8萬元

方案六：購進乒乓球臺15個，電子白板25臺。

總費用為：0.4×15+2.2（40-15）=61萬元

所以，選擇方案六總費用最低，且最低費用為61萬元。

方法二：

設購進乒乓球臺a個，電子白板（40-a）臺，總費用為W萬元，則：

W=0.4a+2.2（40-a）=-1.8a+88

即：W=-1.8a+88

根據題意得：60≤-1.8a+88≤70

解得：10≤a≤15.6

因為a為正整數，所以a=10，11，12，13，14，15

故共有六種購買方案

又因為W=-1.8a+88是一次函數，W隨a的增大而減小，

所以當a=15時，W最小，且W的最小值=-27+88=61萬元。

因此，購進乒乓球臺15個，電子白板25臺時總費用最低，且最低費用為61萬元。

這個題目在整個解題過程中，先根據題目里給出的已知條件，將實際應用問題轉化為數學問題，將題目中各個量之間的數量關系利用方程或不等式表示出來;方法一則是利用不等式組解得的需要購買的乒乓球臺和電子白板的數量，逐一代入計算，得到需要的答案;方法二則有了難度，使很多學生難以想到此解法，然而這個解法運用數學中方程函數的思想方法，將總費用巧妙地用一次函數表示出來，利用一次函數中自變量與函數值之間存在的變化關系，直接回答了需要解決的問題，這個方法的運用，不僅減少了運算的麻煩，還降低了出錯率，且巧妙地將方程、不等式、一次函數等知識綜合聯系起來，不僅解決了需要解決的問題，還啟發學生積極思考，拓寬了解題思路，激發學生學習數學的極大興趣、熱情和積極性，開發了學生智力，啟發了學生的抽象思維能力，為學生以后進一步學習數學知識打下了堅實良好的基礎。

作者簡介：

程紅梅，甘肅省白銀市，會寧縣桃林中學。