Lorentz空間中具有平行Ricci曲率的2-調和類空超曲面研究

楊云飛

(內蒙古師范大學，內蒙古呼和浩特 010022)

1 研究背景

現代微分流形理論的微分幾何在近代數學和物理學中具有重要作用，成為近代物理學、數學及力學不可缺少的數學工具.微分流形在現實生活中的運用十分廣泛，包括在地震波傳播中計算波傳播振幅的焦散問題，飛機控制系統的應用，在人造衛星控制系統的應用，也包括物理、氣象等方面的運用.根據J Eells的思想，姜國英研究了黎曼流形空間2-調和的等距浸入.近代由于對高維空間的微分幾何和曲線、曲面整體性質的研究，使微分幾何學與黎曼幾何、拓撲學、變分學、李群代數等有了密切關系，互相滲透，成為現代數學的中心問題之一.劉育江[1]推出了在黎曼空間中具有Ricci曲率平行空間中的2-調和超曲面，并給出這類超曲面關于其第二基本形式模長平方S的積分不等式及剛性定理；2000年，歐陽崇珍[2]研究了偽黎曼空間型的2-調和類空子流形，得到了常曲率的偽黎曼流形的類空子流形為2-調和的充要條件.

2 文獻綜述

定理設Mn是Lorentz中具有平行Ricci曲率的2-調和緊致無邊類空超曲面，H為Mn的平均曲率，S為其第二基本形式的模長的平方，0

3 理論知識

本文約定指標范圍：1≤A,B,C,…≤n+1,1≤i,j,k,…≤n.

(1)

(2)

KABCD=cεAεB(δACδBD-δADδBC).

(3)

限制在M上，則有：

(4)

(5)

(6)

Rijkl=c(δikδjl-δjlδjk)-(hikhjl-hilhjk)=Kijkl-(hikhjl-hilhjk).

(7)

(8)

由式(6)有：

(9)

則有：

hijk=hikj+Kn+1ijk.

(10)

(11)

(12)

以KABCD,E表示KABCD的共變微分，Kn+1ijkl=Kn+1ijkl+Kn+1in+1khjl+Kn+1ijn+1hkl+Kmijkhml.

4 相關定理及證明

(13)

(14)

由Mn的2-調和超曲面，由文獻[2]的定理1可知：

(15)

由于Ricci曲率平行，則：

(16)

(17)

(18)

等式成立當且僅當至少n-1個ui=λi-H，則：

(19)

下面計算第二基本形式模長平方的Laplacian，由式(17)可得：

(20)

由式(10)和(16)可得：

(21)

由于Mn是2-調和類空超曲面，可由Riemann流形間2-調和等距浸入得：

(22)

選取Mn的主方向為標準正交架場，使得：

hij=λiδij.

(23)

(24)

(25)

令f2=S-nH2，

(26)

(27)

所以由式(7)(24)(26)得到：

(28)

通過梯度算子可得：

(29)

(30)

由于Mn是緊致無邊可定向的超曲面，兩邊積分，利用Green散度定理，得積分不等式：

(31)

即定理得證.

由式(2)(31)可以知道等號成立，從而式(20)(28)(29)等號成立.可以設1-δ=b-a=0，從而Nn+1是具有截面曲率為1的常曲率空間Sn+1(1).

綜上可以得到：

(32)

另外(28)等號成立，可知λ1,λ2,…,λn中至多有兩個不同.

當λ1=λ2=…=λn時，則λ1=λ2=…=λn=λ，故Mn是常曲率Sn+1(1)全臍類空超曲面.

當λ1=λ2=…=λn-1=λ，λn=μ時，其中λ,μ為函數，即Mn是Sn+1(1)中具有兩個不同主曲率的全臍類空超曲面的標準乘積.

5 結論