自正則檢驗Gamma分布的變點(diǎn)問題

譚景寶，夏道明

(合肥幼兒師范高等專科學(xué)校基礎(chǔ)部，安徽合肥 230013)

1 研究背景

變點(diǎn)問題在統(tǒng)計應(yīng)用中很常見，廣泛應(yīng)用于工業(yè)質(zhì)量控制、醫(yī)藥統(tǒng)計、生存分析、氣象生物學(xué)以及金融經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域.如果一個序列存在變點(diǎn)，則在變點(diǎn)前后，模型將會發(fā)生變化.如果忽略變點(diǎn)的存在，則會對統(tǒng)計推斷產(chǎn)生很大的影響，甚至?xí)贸鲥e誤結(jié)論.目前，多參數(shù)變點(diǎn)問題在統(tǒng)計推斷中越來越受到關(guān)注，但是研究文獻(xiàn)卻十分有限，以往的研究主要集中于均值或者方差變點(diǎn)的研究，本質(zhì)上這兩個參數(shù)是無關(guān)的，但是在Gamma分布中，均值和方差同時依賴于形狀參數(shù)和尺度參數(shù).因此研究Gamma分布變點(diǎn)問題顯得尤為重要[1].本文主要研究Gamma分布變點(diǎn)問題在股市連漲連跌收益率方面的應(yīng)用.通常關(guān)于股票收益率的研究重點(diǎn)在于每日收益率隨時間變化的波動規(guī)律，但是從實(shí)際情況來看，股票的當(dāng)日收益率對日后收益率的影響并不顯著.本文主要研究股票指數(shù)連漲連跌收益率的變化規(guī)律.股票指數(shù)的連續(xù)上漲和下跌可以看作是一種生存過程，當(dāng)股指連續(xù)上漲到頭轉(zhuǎn)為下降時，可以看作是上漲的死亡，反之亦然，股指就是在這兩種狀態(tài)下不停地進(jìn)行“生死”相互轉(zhuǎn)換的.國內(nèi)最早對這一課題進(jìn)行研究的有雷鳴等[2].

迄今為止，股市上的變點(diǎn)研究已經(jīng)取得一些成果.雷鳴[3]利用生存分析和極限理論對上證指數(shù)進(jìn)行研究，指出股指連漲連跌收益率服從Gamma分布，且不同時期分布參數(shù)不同.譚常春[4]將Gamma分布變點(diǎn)問題引入股市連漲連跌收益率的變化情況中，指出股指收益率中國股市發(fā)展呈現(xiàn)出“政策市”特點(diǎn).葉五一[5]通過分析高頻連漲連跌收益率的相依結(jié)構(gòu)以及CVaR估計，驗證了股指上漲和下跌的不對稱性以及杠桿效應(yīng).胡心瀚[6]使用Copula-ACD模型和條件VaR方法擬合股票的連漲連跌收益率的邊緣分布和聯(lián)合分布，結(jié)果表明擬合效果優(yōu)于傳統(tǒng)方法.黃飛[7]運(yùn)用Bayes分析對上證指數(shù)連漲連跌收益率變結(jié)構(gòu)問題進(jìn)行研究.研究股市收益率的變點(diǎn)問題，可以在一定程度上規(guī)避損失.

2 Gamma分布變點(diǎn)問題

假設(shè)X1,X2,…,Xn為來自Gamma分布的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，滿足：

Xi～Gamma(v,λi),i=1,2,…,n.

其概率密度函數(shù)為：

其中，v為形狀參數(shù)，λ為尺度參數(shù).

典型的Gamma分布變點(diǎn)問題存在兩種情況：(1)假設(shè)形狀參數(shù)不變，刻度參數(shù)的變點(diǎn)問題(Hsu，1979)；(2)假設(shè)刻度參數(shù)是已知或未知的常量，形狀參數(shù)的變點(diǎn)問題(Lorden & Pollak，2005；Ramanayake，2004；Tan，Zhao & Miao，2007)[6].

本文研究Gamma分布兩參數(shù)的變點(diǎn)問題，判斷Gamma分布序列形狀參數(shù)和刻度參數(shù)是否分別存在變點(diǎn)，即進(jìn)行如下假設(shè)檢驗：

(2)刻度參數(shù)變點(diǎn)檢驗：H0:λ1=λ2≡λ，H1:λ1≠λ2.

其中，v1、v2分別為變點(diǎn)前后Gamma分布的形狀參數(shù)，λ1、λ2分別為變點(diǎn)前后Gamma分布的刻度參數(shù).

3 自正則檢驗

3.1 形狀參數(shù)的變點(diǎn)研究

譚常春[1]在Shao[8]的基礎(chǔ)上，對其提出的檢驗統(tǒng)計量進(jìn)行改進(jìn)，定義一個新的檢驗統(tǒng)計量Gn，來檢驗變點(diǎn)前后模型參數(shù)是否相同.下面給出檢驗統(tǒng)計量：

①

3.2 刻度參數(shù)的變點(diǎn)研究

本文在譚常春[1]給出的形狀參數(shù)檢驗統(tǒng)計量的基礎(chǔ)上，對Tn(k)稍作改變，可得到刻度參數(shù)檢驗統(tǒng)計量：

其中，

4 K-S分布檢驗

Kolmogorov-Smirnov檢驗(K-S檢驗)基于累積分布函數(shù)，用于檢驗一個經(jīng)驗分布是否符合某種理論分布或者比較兩個經(jīng)驗分布是否有顯著性差異.

H0：總體服從某一連續(xù)分布F；H1：總體不服從某一連續(xù)分布F.

本文中利用K-S檢驗來驗證不同階段的收益率序列是否符合Gamma分布.因此當(dāng)原假設(shè)H0為真時，收益率序列服從Gamma分布.

5 在金融序列中的應(yīng)用

5.1 連漲連跌收益率

5.1.1 連漲連跌收益率計算方式

雷鳴[3]在研究中指出，股票的連漲連跌收益率服從Gamma分布.由此使用自正則檢驗對股票連漲連跌收益率的變點(diǎn)問題進(jìn)行研究.

由于上證指數(shù)最能代表中國股票市場，因此選取2006年1月4日至2016年12月30日共計2673個上證指數(shù)的數(shù)據(jù)研究形狀參數(shù)的變點(diǎn)問題.

上證指數(shù)收盤價趨勢圖如圖1所示.

圖1 上證指數(shù)收盤價趨勢圖

連漲連跌收益率是在每日收益率的基礎(chǔ)上計算的.連漲(跌)收益率是指這2673個交易日收盤價每次開始上漲(下跌)到上漲(下跌)結(jié)束時的收益率之和.通過計算，一共得到669個連漲收益率和668個連跌收益率.為操作方便，在下面的分析中，將連漲收益率和連跌收益率分別記為X和Y.運(yùn)用R軟件可得連漲連跌收益率數(shù)據(jù)如表1所示，趨勢圖如圖2和圖3所示.

表1 2006.01.04—2016.12.30連漲連跌收益率

注：篇幅有限，省略2006.01.26至2016.12.30數(shù)據(jù).

圖2 上證指數(shù)2006.01.04—2016.12.30連漲收益率

圖3 上證指數(shù)2006.01.04—2016.12.30連跌收益率

在此期間，很多重大事件的發(fā)生影響了中國股市的發(fā)展，股市波動起伏不斷，經(jīng)歷過多次牛市和熊市.政府為股市的平穩(wěn)健康發(fā)展，先后出臺過一些政策，如四萬億投資計劃(2008年11月11日)等.這些重大事件和政策影響了股票市場的每日收益率的漲跌.這些影響的程度如何，是否會導(dǎo)致連漲連跌收益率發(fā)生結(jié)構(gòu)性的變化？下文將會對此進(jìn)行進(jìn)一步研究.

5.1.2 連漲連跌收益率序列分布擬合

5.1.2.1 連漲收益率

圖4 連漲收益率序列直方圖及密度函數(shù)曲線

由圖4可知，連漲收益率序列近似服從Gamma分布.利用K-S檢驗進(jìn)行驗證.P值為0.4078，大于0.05，不拒絕原假設(shè)，則說明連漲收益率序列服從Gamma分布.

5.1.2.2 連跌收益率

圖5 連跌收益率序列直方圖及密度函數(shù)圖

由圖5可以看出，連跌收益率序列近似服從Gamma分布.利用K-S檢驗，得到P值為0.9141，大于0.05，所以說明連跌收益率序列服從Gamma分布.由上述分析可知，上證指數(shù)連漲連跌收益率服從Gamma分布，與雷鳴[9]的分析結(jié)論一致.下文使用Gamma分布變點(diǎn)的研究方法分析滬指連漲連跌收益率.

5.2 形狀參數(shù)變點(diǎn)估計

根據(jù)①式，對上證指數(shù)連漲連跌收益率進(jìn)行分析，可得連漲連跌收益率第一個變點(diǎn)(表2).其中通過模擬檢驗計算不同置信水平下的檢驗臨界值為C(0.05)=43.5，C(0.1)=26.5.

表2 上證指數(shù)連漲連跌收益率第一個變點(diǎn)

上證指數(shù)連漲收益率Gn圖如圖6所示，上證指數(shù)連跌收益率Gn圖如圖7所示.圖中第一條橫線代表置信水平為0.05的臨界值C(0.05)=43.5；第二條橫線代表置信水平為0.1的臨界值C(0.1)=26.5.

圖6 上證指數(shù)連漲收益率Gn圖

圖7 上證指數(shù)連跌收益率Gn圖

由表2、圖6和圖7可知，連漲收益率第一個變點(diǎn)在2010年2月附近，而連跌收益率變點(diǎn)發(fā)生在2012年7月附近.下面使用二分法對變點(diǎn)前后的數(shù)據(jù)再次分析，可得連漲連跌收益率形狀參數(shù)變點(diǎn)估計結(jié)果(表3).

表3 連漲連跌收益率形狀參數(shù)變點(diǎn)估計

下面給出分段檢驗的Gn圖(圖8至圖11).

圖8 上證指數(shù)連漲收益率1～241的Gn圖

圖9 上證指數(shù)連漲收益率241～669的Gn圖

圖10 上證指數(shù)連跌收益率1～388的Gn圖

圖11 上證指數(shù)連跌收益率388～668的Gn圖

由表3以及圖8至圖11可知，上證指數(shù)連漲收益率在1～241和241～669中不存在顯著變點(diǎn).連跌收益率在1～388及388～668中亦不存在顯著變點(diǎn).下面繼續(xù)使用二分法分段檢測變點(diǎn)，均未發(fā)現(xiàn)其它顯著變點(diǎn)，故檢測結(jié)果如表3所示.

表2為運(yùn)用自歸一化檢驗和二分法估計連漲連跌收益率的多變點(diǎn)的結(jié)果.選取顯著性水平為分別是α=0.05,α=0.1，臨界值分別為C(0.05)=43.5,C(0.1)=26.5.連漲和連跌收益率序列各存在一個顯著變點(diǎn).連漲收益率變點(diǎn)發(fā)生在2010年7月附近，2009年我國相繼推出十大產(chǎn)業(yè)振興計劃，刺激了相關(guān)行業(yè)個股大幅上漲.而后區(qū)域振興規(guī)劃更為相關(guān)板塊上市公司形成利好刺激.10月底創(chuàng)業(yè)板的推出，為市場提供了新的利好機(jī)會，促進(jìn)了2010年股市的發(fā)展.連跌收益率變點(diǎn)發(fā)生在2012年7月.2012年1月至4月在政策的刺激下，股市探底隨后強(qiáng)烈上揚(yáng)，從5月8日起開始連續(xù)下跌7個月.

5.3 刻度參數(shù)變點(diǎn)估計

選取1992年5月21日至2016年12月30日共計6009個上證指數(shù)的數(shù)據(jù)(舍去1992年5月21日以前的數(shù)據(jù)是因為在此前后的上證指數(shù)編報方法不同，無法放在一起進(jìn)行比較)進(jìn)行研究刻度參數(shù)的變點(diǎn)問題.

利用R軟件對連漲連跌收益率序列進(jìn)行變點(diǎn)估計，結(jié)果如表4和表5所示.其中通過模擬檢驗計算所得的不同置信水平下的檢驗臨界值C(0.05)=346411.9,C(0.1)=245229.1.

表4 連漲收益率刻度參數(shù)變點(diǎn)估計

表5 連跌收益率刻度參數(shù)變點(diǎn)估計

表6 連漲收益率各階段序列分布檢驗

表7 連跌收益率各階段序列分布檢驗

由表4和表5可知，連漲收益率序列4個變點(diǎn)，連跌收益率序列一共有5個變點(diǎn).相較于形狀參數(shù)，刻度參數(shù)對股市的變動則表現(xiàn)地更加敏感.由表6和表7可知，連漲連跌收益率變點(diǎn)之間的序列均符合Gamma分布.

5.3.1 連漲收益率變點(diǎn)分析

第一個變點(diǎn)在1998年2月，1997年7月香港回歸以及東南亞金融危機(jī)對我國股市產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.第七個變點(diǎn)在2002年9月，2001年6月“國有股減持”實(shí)行對2002年的股市產(chǎn)生了顯著影響.第十一個變點(diǎn)是2014年6月，2014年深化體制改革全面啟動，美國寬松貨幣政策全面退出，使得中國股市迎來新一輪的牛市.最后一個顯著的變點(diǎn)在2016年的4月初，2016年IPO新股申購新規(guī)、注冊制的實(shí)施、熔斷機(jī)制以及人民幣貶值和大股東減持對股票市場影響巨大.

5.3.2 連跌收益率變點(diǎn)分析

對比表4和表5可知，1998年連漲收益率、連跌收益率結(jié)構(gòu)均發(fā)生變化.連漲連跌收益率均會受到我國大事件及股市政策的影響，說明我國股市具有“政策市”的特點(diǎn).有別于連漲收益率序列，連跌收益率則更容易受到政策和重大事件的影響.

滬指連跌收益率在2005年2月存在的一個顯著變點(diǎn)，2005年股權(quán)分置改革，且2005年處于本次大牛市的起始點(diǎn)，促使2006年和2007年成為牛市，表明其波動性發(fā)生改變.第三個顯著變點(diǎn)發(fā)生在2010年，2009年國家進(jìn)行十大產(chǎn)業(yè)調(diào)整振興計劃，這一利好消息極大促進(jìn)了股市的發(fā)展.但2010年融資融券、股指期貨獲批，造成市場恐慌，股市大跌.第四個變點(diǎn)在2013年上半年，2012年歐洲股市危機(jī)、國內(nèi)經(jīng)濟(jì)下滑以及領(lǐng)導(dǎo)人換屆等國內(nèi)外環(huán)境使得股票市場不明朗，2013年上半年也受到影響，6月觸底.最后一個顯著變點(diǎn)發(fā)生在2015年9月，2014年全面深化改革和央行再次降息對市場產(chǎn)生巨大影響.2015年6月開始，由于場外配資清理、場內(nèi)融資和分級基金去杠桿形成連鎖反應(yīng)，股市出現(xiàn)暴跌，主要集中在6月中旬到8月底.

6 結(jié)語

本文在譚常春[1]自正則檢驗Gamma分布形狀參數(shù)變點(diǎn)的基礎(chǔ)上，將其自正則檢驗統(tǒng)計量運(yùn)用到金融問題中，研究上證指數(shù)連漲連跌收益率的變點(diǎn).得到以下結(jié)論：第一，上證指數(shù)連漲連跌收益率序列均服從Gamma分布，當(dāng)股市受到重大事件及政策的影響發(fā)生變化時，Gamma分布的參數(shù)也會隨之改變.第二，上證指數(shù)連漲連跌收益率分布中形狀參數(shù)和刻度參數(shù)均容易受到我國政策的影響，具有“政策市”的特點(diǎn).但相較而言，刻度參數(shù)則對市場的變化反應(yīng)更加強(qiáng)烈.第三，股市的政策對連漲連跌收益率序列的影響具有時滯性.