一道三角形面積最大值問題解法賞析

湖北省陽新縣高級中學

鄒生書 (郵編：435200)

題目已知△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，D為△ABC外一點，且CD=2AD=2，則△BCD面積的最大值為.

這是衡水金卷2019屆高三理科數學(一)的第16題，是填空題的最后一題，是填空題中的壓軸題，是一道得分率較低的題.難點是考生在緊張和有限的時間內很找到較好的解題思路和簡單的解法，下面筆者提供幾種解法與讀者分享.

圖1

解法1 (金卷給出的三角解法)

如圖1，設∠ADC=α,∠ACD=β.

在△ACD中，由余弦定理得

AC2=12+22-2·1·2cosα=5-4cosα,

點評該解法主要用到了正定理和余弦定理及三角函數輔助角公式，但三角變形多而雜，顯得小題大做不符合小題巧做的解題原則.

圖2

解法2 (用同角三角函數的平方關系求解)

點評該解法思路雖清晰，但運算量大，感覺不夠理想.

圖3

解法3 (用均值不等式或柯西不等式求解)

如圖3，作AE⊥CD于點E，設DE=x,AE=y，則x2+y2=1，設∠ACD=θ.

評注該解法中圖形的放置與表現對解題思路影響較大，起著導向作用.本解法小題巧做易被學生接受，應該是本題的較理想的解法.把難題變得容易，把復雜的問題變得簡單，數學最終是簡單.

圖4

解法4 (作等腰直角三角形證相似求解)

當且僅當B,G,F三點共線，且點G在線段

BE上時等號成立.

解法5 (用旋轉伸縮變換求解)

圖5

解法6 (用托勒密不等式求解，謝倫駕提供)

如圖5,分別取AC,CD的中點H,O,

在四邊形HBCO中，由托勒密不等式得

BO·HC≤BH·OD+BC·HO,

點評上述解法充分利用四邊形托勒密不等式及垂線段最短二次放縮求三角形面積最大值.高觀點低運算，解法高雅優美，很有品味.

托勒密不等式凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，取等號當且僅當四邊形共圓.

注本文參考了華師一附中退休教師鄭用珂、廣州市執信中學朱清波老師和湖南婁底市第一中學謝倫駕老師，在本人創建的公眾號“鄒生書數學”中推出文章中的解法，在此向他們表示感謝！