“言”“意”通聯，將數學學習引向深入

張苾菁

摘 ?要：文章圍繞筆者主持的蘇州市教科院十三五規劃課題《“通聯”視角下學科課堂教學的實踐與研究》，基于數學知識修養、數學思維涵育、數學價值追求等三大維度，構筑“數與形”“點與網”“異與同”“言與意”“境與理”“情與智”等六條“通聯”路徑。文章圍繞“言”“意”通聯做三個觀點的闡述。

關鍵詞：言;意;數學理解

美國雪城大學數學語言研究專家路易斯·威爾金森教授認為，學生在數學情境下給出正確的、合理的數學表達是一項非常重要的能力。與語文、英語學科相比，數學的語言更為簡潔但不失豐富。文字、符號、算式、圖表等都是數學特有的生動語言。教材以此呈現教學內容，師生以此展開教學活動，可以說，學生的數學學習就是伴隨著數學語言而展開的動靜相宜、內外兼修的“言”與“意”的輸出和內化的雙向過程。在教學過程中，教材語言、教師教學語言、學生學習交流語言交融互動，力求形成言與意的通聯。一方面，教師要將教材凝練的語言——數與式、圖與文等用合適的方式來進行動態解讀，還原其關鍵的發生、發展的過程，便于學生經歷、體驗、理解知識的來龍去脈;另一方面，學生也會在這個漸進的過程中習得用數學學科特有的言語方式來表征信息、表述思考、表達觀點、表現作品，結合學習的進程內化為自己的知識，進而形成數學的意識、方法與思想。

一、以“教師之言”啟發“學生之言”

案例1：從“添一條”到“添一個”

教學《小數的初步認識》一課時，一般安排兩個環節：第一個環節是幫助學生通過具體的情境認識零點幾元、零點幾米，從而幫助學生體驗小數是為了表示小于單位“1”的量引入的，可以由十分之幾的分數直接改寫得到;第二個環節是進一步通過測量或者購物情境，幫助學生認識整數部分不為零的一位小數， 從而讓學生在比較中感悟到，小數是將一個單位細分得到的，它和自然數一樣，相鄰計數單位之間的進率也是10。為了加深學生的體驗，老師設計了如下環節。

【第一次試教】

（1）教師提問：1元1角該怎么用圖來表示呢？

（2）生1：先畫一個正方形涂滿，然后再添一條。

（3）師根據學生的回答立刻在屏幕上呈現出如下圖樣，解釋道：我們再找一個正方形，平均分成10份，涂出其中的一條，是這樣嗎？

（4）學生點頭后即坐下。

這個環節設計的本意是通過讓學生自己想一想、畫一畫、說一說來逼著學生對“當無法利用一個單位來表示這個數時，需要再找一個單位平均分成10份后合起來一起表示”進行思考。但是，在面對學生的表達尚不清晰、未能與體驗的目標之間達成有效關聯的時候，教師匆忙以自己規范的“言”取代了學生意猶未盡的“言”，本應被充分展開討論的環節被壓縮，好的用意并沒有達成好的效果。對此，筆者建議做如下修改。

【第二次試教】

（1）教師提問：1元1角該怎么用圖來表示呢？

（2）生1：先畫一個正方形涂滿，然后再添一條。

（3）師：加一條是什么意思？

（4）生1：就是在旁邊加一條。

（5）生2：要畫20份，然后涂出其中的11份。

師：是這樣的嗎？呈現兩幅圖。

（6）生異口同聲：不是，不是！

（7）生1：應該畫兩個正方形，不是把一個正方形分成20條！

（8）生2：我覺得是在原來的正方形旁邊再畫一個正方形，把它再平均分成10份，涂出里面的一份，這個要比光禿禿的一條看得清楚……

事實證明，通過教師在關鍵環節的追問、點撥和適當留白，學生完全有能力把自己的觀點用清晰的語言表達出來并得到同伴的認可，課堂的即時生成變成了學習的資源，教師的“少言”成就了學生的“多言”，更重要的是促進了學生對知識的深度理解。因此，在學生直面數學核心問題以后，他們會有一些對問題初步的想法和判斷，介于似懂非懂之間，也可能會產生一些疑惑，還會出現一些思維的盲點或者誤區，學生出現的“言而不明”“意猶未盡”“詞不達意”“言不盡意”的情況，教師不應急于求成取而代之，而應通過適當的引領進一步幫助學生厘清概念的本質，充分做足加法，引發學生的討論和思辨，并在關鍵處加以點撥指導，并加以規范和完善，以幫助學生形成自己對數學問題的認識和判斷。

二、將學生的“內隱之言”轉化為“外顯之言”

由于對問題的表征受兒童知識經驗及個體差異的影響，會產生很大程度的差別，所以教學的關鍵就在于不能只站在教師的立場上一味地講解，而要想辦法知道學生究竟是怎么想的，他們現有的知識經驗對解決這個問題會帶來怎樣的困難，只有對這個環節掌握充分，我們才能給兒童提供他們所需要的幫助。因此，教師要重視將學生這個內隱的思考過程充分地外顯出來。

案例2：把條件“畫出來”——從條件想起的策略

蘇教版小學數學教材中第五冊首次出現了“解決問題策略”單元的教學，主要通過解答一些非常規的、趣味性較強的實際問題，幫助學生實踐并體驗從條件想起的思考策略。其例題為：

小猴幫媽媽摘桃，第一天摘30個，以后每天都比前一天多摘5個。小猴第三天摘了多少個？

在教學時，教師安排了如下環節啟發學生獨立思考。

1. 讀題并提問：你能從題中找到哪些條件？要解決什么問題？

2. 解意：這兩個條件中，哪個條件的意思不太好懂，需要解釋的？（以后每天都比前一天多摘5個）

3. 你能用自己的方式來表達這句話的理解嗎？請把你的想法寫在練習紙上。

4. 學生在練習紙上表示自己對這句話的理解，師巡視，尋找不同的表達方法。

學生中出現文字表示、表格表示、算式表示……

5. 組織交流：

（1）先交流錯誤的想法。“第一天摘了30個桃，以后每天都比第一天摘的桃多5個，就是每天都摘35個桃”。

（2）再交流不同表示方法的正確理解。如文字法、表格法、箭頭圖等。

上述的案例充分地表明，只有當教師真正了解兒童是如何用自己的方式來表征問題時，才能清楚地發現他們思考的軌跡，從而給予針對性的指導。正如特級教師趙云峰所積極倡導的“讀數學、說數學、畫數學”的觀點中說的那樣，在讀一讀中，我們可以找到重要的、關鍵的信息，理解條件與問題之間的聯系;在說一說中，信息之間變得比原來有條理了，并且通過有層次的交流，思考的脈絡就能從煩瑣到簡潔，從無序到有序，使我們的思考有了步驟;在畫一畫中，學生借助于外顯的表達，列表、畫圖、符號、文字等等，都能使學生頭腦中需要處理的內容得以個性化的呈現，減輕了大腦記憶的負擔，幫助學生直觀地去理解題意，找到信息間相互的聯系。因此，對問題的表征，就在這讀一讀、說一說、畫一畫中促進了學生的個性化思考。

三、將“隨意的日常語言”轉化為“有邏輯的數學語言”

數學學習是多元表征符號系統的建構，因此，數學課的一項重要任務是幫助學生學會用數學的方式來涵育學生“聽、說、讀、寫”的能力。數學教學，不僅希望促進學生對數學的深度理解，更希望通過學生之間、師生之間的交往互動，促進彼此間知識的聯結、情感的互通，以融匯數學活動的體驗，用數學的方式使思維更縝密、思考更深入、邏輯更清晰、表達更條理。

案例3：為什么三角形中不可能有兩個直角或鈍角？——“三角形內角和”的練習設計

（1）師提問：三角形被遮住了兩個內角，從露出的這個內角，你可以知道什么數學信息？

（2）生：我知道第一個三角形一定是鈍角三角形，第二個三角形一定是直角三角形，因為一個三角形里最多只能有一個鈍角或者直角，而第三個我不能確定，因為任何一個三角形都有銳角。

（3）師：你能用你今天學習的知識來解釋為什么一個三角形里最多只能有一個鈍角或直角嗎？

（4）生：因為三角形的內角和是180°，露出的是鈍角，鈍角是大于90°小于180°的角，那么說明剩下的兩個內角的度數是小于90°的，因此，不可能再有鈍角或者直角了。（有邏輯的三段論）

（5）師：這位同學很清楚地解釋了為什么一個三角形里最多只能有一個鈍角或直角的道理，從他的發言中我們可以知道不同的三角形的兩個銳角的度數之和還有某種特點，就像剛才這位同學說的：

鈍角三角形的兩個銳角的度數之和一定小于90度。（屏幕演示）

（6）師：那么，你們能不能也像剛才這位同學一樣討論討論，在直角三角形和銳角三角形中兩個銳角度數之和有什么特點呢？

同桌交流，然后全班交流得出：

直角三角形的兩個銳角的度數之和一定等于90度。

銳角三角形的任意兩個銳角的度數之和一定大于90度。

以上環節的交流，透出濃濃的數學味，學生此時的發言，不再是憑感覺或經驗的隨意判斷，而是推理有據的證明。當然，深化學生對數學理解的方式有很多種，“通過解釋促進學習”是上述練習設計的另一個著力點。運用已知的結論從不同角度解釋或者說明一些問題的前提是，無論你想解釋的是什么，你都必須自己先弄清楚。學生們首先得概括出自己對問題的理解是什么，同時，他們還必須找到如何讓其他孩子明白的合適的表達方式，這個“解釋”過程，可以看作是學生對新知的“主動迎合”與“自動補充”的過程。通過只露出一個內角的三角形，學生們不僅解釋了“有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形”命題的成立，同時也解釋了為什么“有一個角是銳角的三角形不能判斷為銳角三角形”的道理，當然，這都是由“三角形內角和是180°”這一基本知識派生出去新生成的知識;同時，對于鈍角三角形、直角三角形中兩個銳角度數和以及銳角三角形的任意兩個銳角度數和的判斷，更是拓展了學生思考的空間，其本質都是對“三角形內角和是180°”不同角度的理解和靈活運用。學生在發現、概括的過程中相互補充，彼此啟發，思辨的過程清晰地展現在大家面前，數學語言得到推敲與錘煉，思維得到強有力的提升。

由此可見，如果在教學中能超越教學任務的表面特征，挖掘出其內隱的思維含量，在數學問題解決過程中在交流與傾聽、辯論與解釋、協調與明理等環節上多下功夫，那么對學生深度理解數學知識會起到至關重要的作用。教師要提供多種機會讓學生有基于問題信息的表征、結合實例的意義解釋、解題思路的呈現與說明、聯想推理的表達與對話等，來引導和促成兒童朝著數學意義的理解這一方向努力，力求讓學生言之有物，言之有序，言之有理，言之有意。學生數學素養得到發展的一個顯性標志是，學生能積極地用原生態的個性化語言有條理地表達自己對某個數學知識的感悟了。