立意于圖形變換的“全等三角形”課例及分析

賀舞燕 魯建橋

[摘? 要] 用運動、變化的觀點認識全等圖形，有助于學生感悟圖形變換的價值和發展圖形變換的意識.對于“全等三角形”這一課，文章立意于圖形變換，在反復研課與反思的基礎上，不斷地對該課教學進行重構與實踐.

[關鍵詞] 圖形變換;全等三角形;教學方法;案例分析

圖形變換是幾何學的重要內容，它描述的是圖形的變換方式和變換前后兩個圖形的關系. 圖形變換具有使孤立的、離散的條件相互溝通的作用，它是解決幾何問題的重要思想方法.兩個全等圖形可以看成是由一個圖形通過變換得到另一個圖形，用變化、運動的觀點認識全等圖形，有助于學生感悟圖形變換的價值和發展圖形變換的意識.

環節1：體驗全等圖形，明確方向

師：同學們注意過嗎，生活中有許多形狀和大小都相同的圖形.例如，圖1、圖2、圖3、圖4中的各對圖形.這樣的各對圖形有何特點？本節課一起來探究這個問題. （揭示課題并板書）

環節2：定義全等三角形，形成概念

師：現在請同學們把圖1中的兩個圖形剪下來，并把它們疊在一起.問：同學們能發現什么？（圖形課前發給學生）

師：好的. 圖2中左邊的圖形做怎樣的運動能使它與右邊的圖形完全重合？

生1：左邊的圖形先按順時針方向轉一下，再向右平移.

師：不錯.那么圖3和圖4呢？

生2：這兩個圖形能重合.

師：要使這兩個圖形能重合，其重合的方法是什么？

生3：相對應的點要放一起.

師：同學們還能舉出類似這樣的生活中的例子嗎？

生4：半徑相同的兩個圓.

生5：我手中的30度、60度、90度的三角板和張亮手中的相同角度的三角板.

生6：電腦中復制粘貼前后的兩幅圖片……

師：同學們說得非常好.一般地，能完全重合的兩個圖形叫作全等圖形.特別地，能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.

師：兩個全等三角形重合時，能互相重合的頂點叫作全等三角形的對應頂點，互相重合的邊叫作全等三角形的對應邊，互相重合的角叫作全等三角形的對應角.

師：為便于書寫，用符號“≌”來表示全等.“∽”可理解為形狀相同;“=”可理解為大小一樣.例如，△ABC和△A′B′C′全等，可記作“△ABC≌△A′B′C′”，讀作“三角形ABC全等于三角形A′B′C′”.一般地，用符號“≌”來表示兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上.

師：圖5中的△ABC和△A′B′C′是全等三角形.

問：它們的對應頂點、對應邊、對應角分別是什么？

生7：……

師：不錯.觀察下圖，請思考：通過怎樣的運動能使下圖中的各對全等三角形分別完全重合？

生8：①△DEF沿CB方向平移;②△DAE沿過點A的直線翻折.

生9：③△ABC沿AD方向平移;④△DCE沿過點C的直線翻折.

生10：⑤△ACD繞AC的中點旋轉;⑥△ADE繞點A旋轉.

生11：⑦△DAC沿直線AC翻折;⑧△FDE繞線段FC的中點旋轉.

師：好的. 找對應頂點、對應角和對應邊時，經常要先想象三角形的重疊方式.

環節3：探索邊角關系，生成性質

師：全等三角形的定義可以分解出兩個命題：（1）若兩個三角形能完全重合，則這兩個三角形全等.（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形能完全重合.問：全等三角形的對應邊、對應角分別相等嗎？為什么？

生12：全等三角形的對應邊、對應角分別相等.因為全等的兩個三角形能完全重合.

師：好的.對應邊、對應角分別相等的兩個三角形是全等三角形嗎？

生13：通過疊合實驗可得：對應邊、對應角分別相等的兩個三角形是全等三角形.

師：好的.一般地，若兩個三角形全等，則其對應邊、對應角分別相等.若兩個三角形的對應邊、對應角分別相等，則這兩個三角形全等.

環節4：嘗試知識應用，提煉方法

師：現在請同學們思考下列兩個例題.

例1：如圖7，△AOC與△BOD全等. 問：

（1）如何表示這兩個全等三角形？

（2）若∠A與∠B是對應角，則其余的對應角和對應邊分別是什么？

生14：△AOC≌△BOD.

生15：因為∠A與∠B是對應角，所以其余的對應角是：∠AOC與∠BOD，∠ACO與∠BDO;對應邊是：OA與OB，OC與OD，AC與BD.

師：找對應點、對應角、對應邊，你是怎樣思考的？

生16：先想象重合前后的兩個圖形，再確定對應點、對應邊、對應角.

教師補充：相等的邊是對應邊，相等角的對邊是對應邊，相等角的夾邊也是對應邊;類似的，同樣可以得到找對應角的方法. 這些方法是找全等三角形對應元素的常用方法，以后我們會經常用到.

例2：如圖8，AD平分∠BAC，AB=AC.問：

（1）△ABD與△ACD全等嗎？為什么？

（2）BD與CD相等嗎？∠B與∠C相等嗎？為什么？

生17：△ABD≌△ACD.因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，所以將圖8沿AD對折時，射線AC與射線AB重合.因為AB=AC，所以點C與點B重合.因此，△ABD與△ACD能完全重合，即△ABD≌△ACD（全等三角形的定義）.

生18：BD=CD，∠B=∠C.因為△ABD≌△ACD，所以BD=CD（全等三角形的對應邊相等），∠B=∠C（全等三角形的對應角相等）.

師：好的.同學們判斷兩個三角形全等有哪些經驗？

生19：若兩個三角形能完全重合，則這兩個三角形是全等三角形.若兩個三角形的對應邊、對應角分別相等，則這兩個三角形是全等三角形.

師：好的.已知兩個圖形全等找對應邊或對應角，和已知對應邊或對應角判定兩個三角形全等是以后會經常遇到的兩種基本題型.

師：一個圖形通過適當的運動變為另一個圖形，運動前后的兩個圖形有何關系？

生20：運動前后的兩個圖形全等.

生21：運動前后兩個圖形的對應邊、對應角分別相等.

師：由此大家有何感觸？

生22：圖形運動能改變圖形的位置，但不會改變圖形的形狀和大小.

生23：圖形運動能實現量與量之間的相互轉化.

師：好的.由于圖形運動能使孤立的、分散的條件相互溝通，所以在解決幾何問題時會經常使用圖形運動的思想方法.

師：接下來，請同學們完成課后作業題，并在完成后，小組里進行校對與反饋.

環節5：回顧知識脈絡，感悟收獲

師：請同學們圍繞下列問題反思與總結本節課的收獲.

（1）本節課研究的內容和研究的方法是什么？

（2）判定兩個三角形全等有哪些方法？全等三角形有哪些性質？

（3）尋找全等三角形的對應元素有哪些方法？

（4）你認為研究全等三角形有何意義？

全等三角形是認識三角形的繼續——從一個三角形到兩個三角形之間的關系，它也是一種特殊的相似變換. “全等三角形”的教學內容不僅包括全等圖形和全等三角形的概念，用字母和符號表示全等三角形，及其他的性質與判定，也包括全等三角形性質與判定的形成與應用的過程和蘊含的圖形變換思想等. 全等三角形的判定及性質為證明線段相等、角相等提供了重要的方法，研究全等三角形的方法具有普遍適用性.想象重疊方式、尋找對應元素等過程能培養學生的想象力、感知力和創新精神，其蘊含的圖形變換思想是數學中的重要思想.

本課例根據教學內容的地位與作用及蘊含的教育價值，將本課教學立意于圖形變換，以學生身邊的題材為背景，從學生的認知發展水平和已有的經驗出發，通過教師適度引導與學生自主探究相結合的方式，逐步使學生經歷完整的認知過程.在“定義全等三角形”的教學中，既有“實驗、演示、想象、判斷、歸納、定義”的過程，以形成全等圖形的概念并且感受使兩個全等圖形完全重合所要遵循的疊的規則，又有“演繹、表示、解釋”的過程，以獲得全等三角形及對應頂點、對應邊、對應角的概念和用符號表示全等三角形的方法，也有獲得概念之后的反思，以知道常見的使兩個全等三角形重疊的運動方式和感悟其蘊含的圖形變換思想.在“全等三角形的性質與判定”的教學中，既有分解定義的過程，以明確從定義中可以分解出性質與判定兩個命題，又有根據定義判斷與表達性質與判定的過程，以形成全等三角形的性質與判定.在“嘗試應用”的教學中，既有用所獲知識解決問題的過程，以鞏固概念，又有解決問題之后的反思，以積累判斷兩個三角形全等及找對應邊、對應角的經驗，明確與全等三角形有關的兩類題型，感悟圖形變換的價值.在“回顧與感悟”的教學中，既有教師問題引導下學生的自主思考與交流，又有教師的總結.這體現了過程教育和學為中心的教學模式，能實現“參與定義全等三角形的活動，能說出全等三角形及對應頂點、對應邊、對應角的概念，能知道并會用字母和符號表示全等三角形的方法，能感悟獲得全等三角形概念的過程和蘊含的抽象思維、符號表示思想、圖形變換思想;探索全等三角形的性質與判定，能知道從全等三角形定義中可以分解出性質和判定兩個命題，理解全等三角形的性質與判定;參與嘗試知識應用的活動，會用全等三角形的定義判定兩個三角形全等”的教學目標.

因此，“全等三角形”的教學，不僅要關注涉及的數學結果，也要關注獲得數學結果的過程和蘊含的圖形變換思想等.這對發展學生圖形變換的意識和懂得圖形變換的價值有積極的影響.