在平面直角坐標系中變出“精彩”

龔群友

【原題呈現】蘇科版九（下）第91頁14題：如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，3），點B的坐標為（3，0）。

圖1

（1）把△AOB沿x軸向左平移1個單位長度得到△A1O1B1，寫出點A1、O1、B1的坐標。

（2）把△AOB繞原點旋轉180°得到△A2OB2，寫出點A2、B2的坐標。

（3）把△AOB沿x軸翻折得到△A3OB，寫出點A3的坐標。

（4）以點O為位似中心，在第一象限內把△AOB按相似比2∶1放大，得到△A4OB4，寫出點 A4、B4的坐標。

【解析】（1）A1（1，3），O1（-1，0），B1（2，0）。（2）A2（-2，-3），B2（-3，0）。（3）A3（2，-3）。（4）A4（4，6），B4（6，0）。

【點評】（1）圖形的平移變換比較簡單，整個圖形向右（左）平移了a（a＞0）個單位，圖形的大小、形狀不變，則圖形上每個點的橫坐標加上（減去）a，縱坐標不變；整個圖形向上（下）平移了b（b＞0）個單位，圖形的大小、形狀不變，則圖形上每個點的縱坐標加上（減去）b，橫坐標不變。

（2）圖形的旋轉變換與平移相比難度略有增加。中心對稱變換，需將每個點和旋轉中心連接起來，并延長一倍，就得到旋轉180°的對應點。以原點為對稱中心的中心對稱，旋轉前后，每一對對應點的橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數。

（3）圖形沿x軸翻折，圖形的大小、形狀不變，圖形上每個點的橫坐標不變，縱坐標取相反數。

（4）以點O為位似中心，將線段OA、OB延長一倍，對應點的橫坐標和縱坐標都乘2。

【拓展1】在平面直角坐標系中，線段AB的兩個端點坐標分別為A（-1，-1），B（1，2），平移線段AB，得到線段A′B′，已知A′的坐標為（3，-1），則點B′的坐標為_______。

【解析】通過畫圖，不難發現，點A向右平移4個單位長度可得到點A′，則點B同樣也是向右平移4個單位長度到點B′，所以B′的坐標為（5，2）。

【拓展2】△ABC在方格紙中的位置如圖2所示。

圖2

（1）請在方格紙上建立平面直角坐標系，使得A、B兩點的坐標分別為（2，-1），（1，-4），并求出C點的坐標。

（2）作出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，再作出△ABC以坐標原點為旋轉中心、旋轉180°后的△A2B2C2，并寫出C1、C2兩點的坐標。

（3）觀察△A1B1C1和△A2B2C2，其中的一個三角形能否由另一個三角形經過某種變換而得到？若能，請指出是什么變換。

【解析】（1）如圖3建立平面直角坐標系，點C的坐標為（3，-3）。（2）如圖3，點C1的坐標為（3，3），點C2的坐標為（-3，3）。（3）能，是軸對稱變換。

圖3

【拓展3】如圖4，若點A的坐標為（-1，5），點B的坐標為（3，3），點C的坐標為（5，3）。

圖4

（1）建立恰當的平面直角坐標系，并畫出點D（3，-1），連接CD。

（2）小明發現：線段AB與線段CD存在一種特殊關系，即其中一條線段繞著某點旋轉一個角度可以得到另一條線段，你認為這個旋轉中心的坐標是_______。

【解析】（1）如圖5所示。（2）根據旋轉的基本性質可以得到，對應點到旋轉中心的距離相等，因此旋轉中心應為兩對對應點連線的垂直平分線的交點。若點A與點C為對應點，點B與點D為對應點，則旋轉中心的坐標為（1，1）；若點A與點D為對應點，點B與點C為對應點，則旋轉中心為（4，4）。所以本題的答案為（1，1）或（4，4）。

圖5

【拓展4】在平面直角坐標系中，已知點P0的坐標為（1，0），將點P0繞原點O按逆時針方向旋轉30°得到點P1，延長OP1到點P2，使OP2=2OP1；再將點P2繞原點O按逆時針方向旋轉30°得到點 P3，延長 OP3到點 P4，使 OP4=2OP3……如此繼續下去。求：（1）點P2的坐標；（2）點P2019的坐標。

【解析】同學們可根據題意畫圖分析。

（1）作P2M⊥x軸于M。

∵OP2=2OP1=2OP0=2×1=2，∠P2OM=30°，

∴MP2=2·sin30°=1，OM=2·cos30°=

∴點P2的坐標為（）。

（2）按照題中的變化規律，點P5、P6落在y軸的正半軸上，點P23、P24又回到x軸正半軸上。

∵2019÷24=84……3，

∴點P2019落在第一象限內，且OP2019與x軸的夾角為60°。

又∵OP3=OP2=2，OP5=OP4=22，OP7=OP6=23……

∴OP2019=OP2018=21009。

∴點P2019的坐標為（21008，）

以上四個拓展由簡單到復雜，由特殊到一般。同學們在解決這類問題的時候，一定要“筆下有圖”，結合圖形變化，在平面直角坐標系中畫出對應圖形，即可順利解決問題。