一道習(xí)題的變式研究

黃亞河

盡管現(xiàn)在全社會都在提倡素質(zhì)教育，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，但現(xiàn)在的高中生學(xué)習(xí)還是非常辛苦。“數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)的心臟”，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要任務(wù)，一題多變，能使學(xué)生發(fā)散思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。因此，對待課本的例習(xí)題，絕不能就題論題，應(yīng)用運動的觀點動態(tài)處理例習(xí)題，是提高解題能力和思維能力的法寶之一，也是創(chuàng)新能力的一種體現(xiàn)。本文以一道習(xí)題為例，說明習(xí)題演變的方法技巧，供同學(xué)們參考。

例題：△ABC中，b=1， b=60°.求a+c的最大值

解：∵b2=a2+c2-2accosB

∴1=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac

∴（a+c）2-1=3ac≤3×（ ）2

∴（a+c）2≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時，等號成立

即a+c≤2

評注：（1） 利用余弦定理找出a+c與ac的關(guān)系，

（2） 利用基本不等式把a(bǔ)c轉(zhuǎn)化為a+c，此時注意不等式中等號成立的條件。

變式1：改變結(jié)論

（1） 求△ABC的面積的最大值。

解：∵b2=a2+c2-2accosB

∴1=a2+c2-2accosB=（a+c）2-3ac

∴（a+c）2-1=3ac≤3×（ ）2

∴（a+c）2≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時，等號成立

即a+c≤2

（2） △ABC中，b=1， b=60°.求a+b的取值范圍

∵b2=a2+c2-2accosB

∴1=a2+c2-2accosB

∴ac+1=a2+c2≥2ac

∴ac≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時，等號成立

即S△ABC= acsinB≤

∴△ABC面積的最大值是

（3） 求△ABC的周長的取值范圍。

解：由（1）知a+c的最大值是2

利用組成三角形的條件“任意兩邊之和大于第三邊”求出a+c>1，由b=1

所以2

即△ABC的周長的取值范圍是（1，2]

變式2：改變已知條件

（1） 銳角△ABC中，b=1， b=60°.求a+c的取值范圍。

分析：利用余弦定理和基本不等式只能求出a+c的最大值，而求不出最小值。所以可參考解三角形的另一工具“正弦定理”，把問題轉(zhuǎn)化為“形如y=Asin（？棕x+？茲）”形式的函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)求解。

解：∵ = = =2R， 且b=1， B=60°

∴a= sinA， c= sinC

∵A+B+C=？仔

∴C= -A

∴a+c= （sinA+sinC）

= （sinA+sin（ -A））

= （sinA+ cosA+ sinA）

= （ sinA+ cosA）

=2sin（A+ ）

∵△ABC是銳角三角形

∴0

∴

∴

∴

∴ <2（sin（A+ ）≤2

即：a+c∈（ ， 2]

評注：本題關(guān)鍵是找出a+c關(guān)于角A的函數(shù)關(guān)系式，在根據(jù)A的取值范圍求出函數(shù)的值域。

（1） 已知條件不變，求△ABC的周長的取值范圍

（2） 把“銳角三角形”改成“鈍角三角形”，其余不變

（提示：當(dāng)A是鈍角時，a+c∈（1， ）。當(dāng)C是鈍角時，a+c∈（1， ））