問題驅(qū)動 引導(dǎo)深度教學(xué)
——以“排列”教學(xué)為例

徐 睿

(江蘇省昆山中學(xué) 215300)

我們在每天的教學(xué)中都會思考這樣的問題：如何提高學(xué)生學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)興趣？如何激發(fā)學(xué)生的積極性與主動性？如何使課堂效率更高？當(dāng)學(xué)生對課堂產(chǎn)生了好奇、疑問，自然就有了學(xué)習(xí)動機(jī)，對學(xué)習(xí)產(chǎn)生了興趣.課堂教學(xué)若能科學(xué)而又有藝術(shù)地設(shè)計一些能解決核心問題的問題，就能調(diào)動學(xué)生的積極性.

一、教材分析

“排列”是蘇教版《數(shù)學(xué)選修2-3》第一章第二節(jié)課，教科書通過具體實(shí)例歸納出排列的概念，再運(yùn)用分步計數(shù)原理得到排列數(shù)公式.排列以計數(shù)為主要內(nèi)容，它不僅應(yīng)用廣泛，能為學(xué)習(xí)統(tǒng)計、概率及高等數(shù)學(xué)有關(guān)分支準(zhǔn)備知識基礎(chǔ)，同時也能大大提高學(xué)生的抽象思維和邏輯思維能力，為解決很多實(shí)際問題提供了思想和工具.

本節(jié)課具有承上啟下的地位，它既是分步計數(shù)原理的應(yīng)用，又為學(xué)習(xí)組合和組合數(shù)公式奠定了基礎(chǔ)，而且與后面概率中的二項(xiàng)分布有著密切聯(lián)系.

二、學(xué)情分析

學(xué)生剛學(xué)過兩個基本計數(shù)原理，遇到計數(shù)問題往往能夠往分類或分步的方向進(jìn)行思考.學(xué)生對生活中比如排隊(duì)、接力賽、活動參與等計數(shù)問題有了一定的經(jīng)驗(yàn)，有運(yùn)用化歸思想、特殊到一般的思想解題的意識，但抽象概括能力不強(qiáng)，對于排列概念的得出需要在獨(dú)立思考和討論協(xié)助的基礎(chǔ)上，再由老師引導(dǎo)解決.

三、教學(xué)目標(biāo)

理解排列的意義，掌握排列數(shù)的計算公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的排列問題，經(jīng)歷排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程，感受特殊到一般的思維方式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，提升抽象概括能力，邏輯思維能力，體會知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：排列、排列數(shù)的定義，排列數(shù)公式的推導(dǎo).

教學(xué)難點(diǎn)：排列數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用及解決實(shí)際問題時的思路分析.

五、教學(xué)策略選擇

為更好地突出重點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，本課采用以問題為背景，引導(dǎo)啟發(fā)，通過創(chuàng)設(shè)情境，設(shè)置問題串，通過大量的實(shí)例讓學(xué)生更深刻地理解概念， 學(xué)生獨(dú)立思考，相互討論，老師引導(dǎo)解決的過程，讓學(xué)生體會知識的形成和發(fā)展，通過觀察、歸納、思考、探究、交流、反思進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

六、教學(xué)過程

1.問題情境，引出課題

問題1 現(xiàn)有高一學(xué)生4名，高二學(xué)生5名，高三學(xué)生3名，從中任選1人參加學(xué)生代表大會，有多少種不同的選法？若從每個年級的學(xué)生中各選1人參加學(xué)生代表大會，有多少種不同的選法？上述計數(shù)方法有什么區(qū)別？

問題2 現(xiàn)請同學(xué)們來解決如下兩個問題：

(1)若從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四種不同的工作，有多少種不同的選派方案？

(2)從3名學(xué)生中選出2名分別擔(dān)任班長和團(tuán)支書，有多少種不同的選法？

問題3 上面兩個問題的共同點(diǎn)是什么？

設(shè)計意圖：問題1復(fù)習(xí)分類和分步兩個基本計數(shù)原理，為新知識學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).通過問題2、3討論上述兩個問題的共同點(diǎn)，給出排列的一個模糊概念：像這樣的問題中研究的模型就是排列，并引出課題.

2.概念辨析，強(qiáng)化理解

問題4 以下問題是排列問題嗎？

(1)從甲、乙、丙、丁四個人中選取2個人參加團(tuán)代會的選取方案有多少種？

(2)在四張卡片上分別印有o,o,k,k，現(xiàn)選擇2張卡片按左右擺放在一起，可以組成哪些不同的結(jié)果？

(3)從6人中選4人參加4×100m接力賽，有哪些選派方案？

(4)在平面直角坐標(biāo)系中，由互不相等的四個數(shù)a,b,c,d組成的點(diǎn)的坐標(biāo)有哪些？

設(shè)計意圖：通過具體實(shí)例進(jìn)一步體會怎樣的模型是排列，加深對排列的理解，正面強(qiáng)化排列問題中的兩個關(guān)鍵點(diǎn)“不同元素”和“按照一定順序”，為后面歸納得出排列的概念做好準(zhǔn)備.

3.抽象概括，概念生成

問題5 上面的(3)(4)可提煉為如下兩句話：

(3′)從6個不同元素中取出4個元素，按照一定順序排成一列；

(4′)從4個不同元素中取出2個元素，按照一定順序排成一列.

請問同學(xué)們能否將它們推廣到一般情形？

學(xué)生討論、歸納、總結(jié)、完善，得出排列的定義.

例1寫出從a,b,c,d這4個字母中，取出2個字母的所有排列.

學(xué)生利用列舉法或樹形圖寫出所有排列，并數(shù)出了所有排列的個數(shù).

問題6 像“ab,ac,…”這些我們稱什么？“12”又是什么？

變1：從a,b,c,d這4個字母中，取出3個字母的所有排列有多少種？

學(xué)生分組討論作答，有用列舉法，有畫樹形圖，有用分步計數(shù)原理求解，最后都能得到答案24.

變2：從a,b,c,d這4個字母中，取出4個字母的所有排列有多少種？

教師適當(dāng)引導(dǎo)，一方面用排列數(shù)的定義表示，另一方面用分步計數(shù)原理得到結(jié)果，異曲同工，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“算兩次”思想，為后面的學(xué)習(xí)鋪墊.

4.揭示規(guī)律，導(dǎo)出公式

學(xué)生分組探究，歸納總結(jié)：完成這件事情，可以把這m個元素所排列的位置劃分為第1位、第2位、…，第m位，然后按照分步計數(shù)原理可得到排列數(shù)公式.

5.強(qiáng)化公式，跟進(jìn)新公式

問題10 同學(xué)們做出答案后，有何數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)？

七、教學(xué)反思

1.預(yù)設(shè)有效問題，發(fā)展學(xué)生思維

“思”源于“問題”，通過問題解決能使學(xué)生獲得知識、方法、能力及思想上的全面發(fā)展，所以課堂不能是任務(wù)驅(qū)動，而應(yīng)是問題驅(qū)動，讓學(xué)生不僅關(guān)注怎么做，更要關(guān)注為什么要這樣做、怎樣才能想到這樣做，這有助于學(xué)生的思維發(fā)展.本節(jié)課用10個問題把課題引入，概念生成，公式導(dǎo)出等所有環(huán)節(jié)串在了一起，既完整又自然，一改以往的灌輸式教學(xué).學(xué)生在這樣的問題課堂中，探究問題，討論問題，引發(fā)新問題，思維高度集中，學(xué)習(xí)的目標(biāo)和方向進(jìn)一步明確，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；從教師角度看，設(shè)置有效問題的課堂能讓教師更好地把握知識本質(zhì)，促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展.

2.關(guān)注互動交流，引發(fā)數(shù)學(xué)思考

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程實(shí)際上是個再創(chuàng)造的過程.學(xué)生帶著原本的知識和經(jīng)驗(yàn)走進(jìn)課堂，經(jīng)歷了自己的獨(dú)立思考，教師的引導(dǎo)，師生的互動交流活動，進(jìn)而對知識有了更深入的理解.本節(jié)課以學(xué)生為主體，給學(xué)生充分的時間去思考討論研究，調(diào)動學(xué)生全員參與，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.例如在生成排列概念時，通過問題4的幾個具體實(shí)例，讓學(xué)生自己歸納總結(jié)，剛開始，往往在“不同元素”，“按照一定順序”等關(guān)鍵細(xì)節(jié)方面忽視了，經(jīng)過后面幾位學(xué)生的不斷補(bǔ)充、完善，排列的概念自然而然就提煉出來了.又如，在揭示排列數(shù)公式時，并沒有直接將公式拋出，而是讓學(xué)生小組討論，自己去探究發(fā)現(xiàn)公式并嘗試證明.課堂上，要讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)過程，主動建構(gòu)新知，讓學(xué)生相互交流，溝通，給學(xué)生自己動腦思考的空間，讓所有的學(xué)生獲得自我表現(xiàn)的機(jī)會.

3.培養(yǎng)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生能力

培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)有助于學(xué)生形成理性思維.本節(jié)課通過具體實(shí)例的對比，從事物的相異中抽象出一般規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生歸納、完善排列的概念，在實(shí)際生活的情境中幫助學(xué)生更好地理解知識，這個探索的過程有利于學(xué)生養(yǎng)成一般性思考問題的習(xí)慣.

排列數(shù)公式的推導(dǎo)證明，培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和解決實(shí)際問題的過程.在引出排列的模糊概念時，用的問題2的模型：像這樣的的問題中研究的模型就是排列.自然的激發(fā)學(xué)生去思考如何完善模型.數(shù)學(xué)建模的過程是不斷反思的過程，能讓學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識分析解決實(shí)際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.對于教師而言，根據(jù)學(xué)生不同的建模方法，更好的優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，促使教師對教學(xué)的不斷思考.