基于策略性競爭博弈的供應鏈信息共享策略

周建亨，冉 蕓

(1.東華大學旭日工商管理學院，上海 200051;2.四川旅游學院經濟管理學院，四川 成都 610100)

隨著經濟全球一體化的不斷深入發展，供應鏈成員間的信息非對稱成為影響供應鏈績效的主要原因之一。經典的供應鏈管理對信息共享進行了大量研究,包括橫向信息共享和縱向的信息共享,并證明了在一定條件下信息共享可以弱化牛鞭效應、提高供應鏈效率[1-2]。然而，以往關于信息共享的研究多是基于供應鏈信息結構事前外生給定的基礎上展開，同時也不討論信息共享所帶來的成本問題。事實上，在激烈的市場競爭中，對市場需求信息的準確把握無疑是企業獲得競爭優勢的重要因素，一個企業在與對手博弈的過程中，往往策略性地利用自己的信息優勢，從而控制對方的決策方向，進一步間接影響供應鏈的信息流(獲取、共享、以何種方式共享)、物流(訂貨量、銷售量)、資金流(成本、批發價、銷售價)，達到利潤最優。同時，競爭對手預見到信息優勢方可能自利地隱瞞、扭曲、共享信息的可能性，同樣會策略性地反饋決策，從而立于不敗之地。除此之外，隨著供應鏈運作以及市場競爭的激烈化，越來越多的產品呈現出來源不一、成本價多樣的趨勢，成本優勢也是供應鏈終端企業競爭的重要底線之一。本文將立足于以上信息以及成本優勢兩個要素，討論兩個終端企業有成本差異的前提下(一個自產自銷，一個從上游批發產品)，供應鏈中信息共享策略的方案，包括：信息優勢企業如何根據市場需求情況確定是否信息共享(若是，則如何共享)；信息劣勢企業如何根據對方共享的市場信息來決策訂貨量；上游供應鏈如何決策批發價，從而控制整個供應鏈的博弈態勢，使下游銷售商在競爭中更為主動。

以往的關于供應鏈信息共享的文獻主要包括垂直上下游以及水平競爭的企業之間。Lee和Whang[3]證明了信息共享對兩級供應鏈存在的積極應用價值。Li[4]進一步研究并認為信息共享對供應鏈成員存在直接的積極影響和間接的信息泄露風險。可見，信息共享對整個供應鏈有利，而對各個供應鏈成員而言未必如此。因此，供應鏈各節點信息共享的意愿值得探討。Li和Zhang Hongtao[5]在一對多的制造商與零售商組成的供應鏈中討論不同市場競爭條件下，零售商的信息共享動機問題。?zer和Wei[6]研究了不同契約合同下的信息共享動機問題。同時，供應鏈成員間進行契約設計，可以有效緩解信息共享所帶來的間接信息泄露風險，提升共享信息的真實性，促進信息共享策略達成[7-10]。由此可見，供應鏈信息共享的動機問題已逐步引起了學術界的關注。本文在以往的研究基礎上，基于策略性競爭博弈的思想，研究供應鏈橫向信息共享的動機問題。

本文的研究與Anand和Goyal[11],Kong等[12]、Makadok[13]、周建亨和蔣碧云[14]、劉浩等[15]的研究相關。Anand和Goyal[11]研究了在批發價格契約下的信息泄露問題，結果表明供應商定會泄露信息，且這一行為會導致供應鏈效率低下，為供應鏈的各方成員帶來損失。Kong等[12]進一步建立收益共享契約進行研究，得到一定的收益共享系數和市場波動條件下，供應商不會泄露信息。這兩項研究中供應商和兩個零售商的合作方式完全相同，基于此周建亨和蔣碧云[14]、劉浩等[15]考慮了非對稱信息下，制造商與兩個議價能力不同的零售商，分別建立合作契約和批發價格契約，探討信息泄露對供應鏈產生的影響。Makadok[13]則在信息對稱條件下，討論了成本差異與對抗約束對雙方博弈方式(古諾或伯川德博弈)選擇的影響。上述文獻主要討論的是信息泄露問題，而非信息共享問題，目前關于策略性博弈下的信息共享機制分析較少。其中但斌等[16]研究了制造商間的競爭強度對信息共享價值的影響；李余輝等[17]考慮企業社會責任的供應鏈，討論企業CSR行為的信號傳遞動機，為企業選擇信息共享方式提供參考。但文獻主要集中在縱向的信息共享，且未涉及水平競爭的成本差異。

基于此，本文以一個自產自銷商、單一銷售商和單一生產商組成的供應鏈為研究對象，其中單一銷售商向單一生產商批發產品，且與自產自銷商構成水平競爭。考慮水平競爭者之間的成本差異關系，研究上游生產商如何通過批發價格影響成本差異，從而影響整個供應鏈的信息共享策略問題。與現有研究不同的是，本文中的信息共享是事后共享，且信息共享行為可能是需要付出額外成本。

1 問題描述與模型假設

1.1 基本假設

假設某自產自銷商M1自產自銷某產品，同時市面還有其競爭對手單一生產商M2以相同的生產成本c生產相同的產品，但是M2以批發價w委托單一銷售商R2進行銷售。則M1與R2在容量為AS的市場上形成數量競爭，其中S∈{L,H}。M1與R2對市場掌握程度不同，如M1因長期經營能在事前準確獲知市場需求信息AS，R2則可能只掌握了市場分布類型。因此， M1具有關于市場需求的信息優勢。

本文基于以下三點主要假設展開：

假設1：理性參與人假設；

理性期望均衡(REE, Rational Expectation Equilibrium)概念將用于對所有參與者的決策進行分析：(1)基于對M1產量與其信息共享策略的期望，M2通過期望利潤最大化決策對R2的批發價w；(2)M1將基于對R2訂貨量的期望，而決定產量和信息是否共享的決策；(3)R2將基于對M1以及M2的策略性博弈結果，而決定對應的競爭訂貨數量。

假設2：信息共享的策略是事后而不是事前的；

以往的信息共享文獻中，信息共享策略是獲取信息事前決策的，在是否共享信息的前提下，探討信息共享策略對供應鏈的影響。本文放松該假設，假設M1可以根據獲取的信息內容情況，決策是否共享信息及以何種形式共享(如果決定信息共享)給競爭對手。

假設3：信息共享(信號傳遞)將會付出額外成本；

以往的相關文獻中，均假設信息發送方若決定信息共享，定會真實披露信息，同時，另一方也相信共享信息的可靠性。因此信息共享不需要付出額外成本。本文放松了這一假設，設M1存在不愿真實披露信息的動機。因此，為了讓R2確信其信息，在某些條件下，不得不通過扭曲其最優訂貨量，從而付出額外成本達到信息共享的目的。

另外，本文假設除了市場需求信息，其余信息都為各方所共知；供應鏈各結點都是風險中性的決策者。

1.2 需求函數

M1和R2之間進行數量競爭，本文借鑒Kong等[12]的方法，將產品在市場上的銷售價格函數表示為：

PSC=AS-QSC-qSC

(1)

其中，AS表示市場需求，其中S∈{L,H}分別表示低市場類型和高市場類型，并為M1確切地了解。而R2并不確切了解具體市場類型，只了解市場類型的概率：其中，S=H的概率為λ，S=L的概率為1-λ，市場需求平均值為μ=λAH+(1-λ)AL，且有λ∈(0,1)，AH>μ>AL>0。M1的產量QSC與R2的訂貨量qSC構成市場總量DSC=QSC+qSC。下標S∈{L,H}表示外生給定的市場類型為高(S=H)或低(S=L)；C∈{L,N,H}表示R2根據其對市場類型的信念而決策的訂貨類型；若C=L，則R2因M1的信息共享而確認市場類型為低；若C=N，則M1不進行信息共享，R2只能基于初始的市場信念均值μ而確定訂貨量。價格PSC為M1了解到市場類型為S，而R2認為市場類型為C時的產品價格；當S=C時，意味著M1正確地傳遞了市場類型信息，且為R2所相信的情況。M1在生產決策則能夠在一定程度上反映出市場信息，因此M1的產量可以被R2當作市場類型的信息。M1可能會出于私利將信息共享給競爭對手R2，R2將基于M1所共享的市場信息來決策自己的訂貨量，在這種決策模式下，M1在制定相關決策時應該采取一定的策略，如偽裝產量信息等行為，根據自身成本和信息的優勢最大程度上提高自己的利潤，理性的R2預見到M1的策略性行為，會對M1共享的市場需求進行調整，并基于自身利潤最大化做出決策。各結點在信息非對稱條件下進行策略性的競爭博弈。

1.3 供應鏈各結點決策時序

供應鏈的各結點在信息非對稱條件下的博弈時序：在t0期，外生給定市場類型AH(高類型)或者AL(低類型)、R2的需求初始信念λ、M1 M2的生產成本c；在t1期，生產商M2決定對銷售商R2的批發價格w；M1獲取市場需求信息AS；在t1.5期，M1根據觀察到的需求量AS以及相對于R2的成本優勢，即w-c，決策是否共享信息。若M1決定不共享信息，R2在整個博弈過程中就不能觀察到M1的產量QSC；反之，M1要進一步決定以分離(或混同)的方式通過其產量QSC共享市場信息給R2，從而間接引導R2對市場類型的信念；在t2期，R2根據的M1的產量QSC(如果能觀察到的話)，決策自身的訂貨量qSC；否則，R2只能根據初始了解的市場需求均值進行決策。因此，其訂貨量受M1是否(以何種方式)共享信息的決策影響。若M1共享信息，則M1、R2的決策是序貫進行的；若M1不共享信息，則M1、R2的決策是同時進行的，即M1為領導者，R2為跟隨者。在t3期，M2發貨，M1、R2各自出售產品給市場，供應鏈各個節點利潤實現。

本文采用逆向歸納法求解整個博弈過程，第2節研究無信息共享下，供應鏈各節點的兩種博弈情形：不完全信息下的同時博弈和完全信息下的序貫博弈，作為后文的討論基準；第3節討論若M1選擇信息共享，會以哪種方式共享，在信息非對稱條件下對分離均衡共享和混同均衡共享進行建模求解，得出決策條件；第四節基于前兩節的研究結果，討論M1是否要信息共享的決策；第5節進一步討論M2的批發價格決策，分析M2如何通過批發價格控制整個供應鏈的信息流和物流。

2 無信息共享下銷售商的博弈選擇

本節先討論無信息共享的基準情況。無信息共享情境下存在兩種博弈：一是雙方古諾博弈，R2不了解市場需求情況，且不能觀察到M1的產量，此時哪怕雙方決策在時間上有先后，但在信息結構上，屬于同時決策；二為斯坦克爾伯格博弈，雙方均了解市場需求情況，并從信息結構上有先有后地決策產品量，即完全信息下的序貫博弈。

2.1 不完全信息下的同時博弈

在古諾博弈中，M1、R2的行為決策同時進行，雙方基于對方行為結果的信念，分別決策產品的數量。此時R2對市場需求類型的認知恒為C=N，M1和R2同時博弈所導致的均衡由命題1給出。

命題1：不完全信息下存在古諾博弈均衡解，使M1和R2分別取得最大期望利潤，此時，M1和R2的最優產品數量策略為:

其中，S∈{L,H}。

本文所有證明請見附錄。

2.2 完全信息下的序貫博弈

在完全信息條件的序貫博弈中，M1是領導者、R2是跟隨者，同時，市場需求情況為共同知識。此時，M1和R2的序貫博弈均衡由命題2給出。

命題2：完全信息下存在斯坦克爾伯格博弈均衡解，M1和R2分別取得最大期望利潤，此時，M1和R2的最優產品數量為:

可見，當信息對稱時，M1與R2的訂貨量均取決于具體的市場需求類型AS。

3 信息共享下銷售商的決策選擇

本節在M1會共享信息，且M2批發價格w一定的前提下，討論M1基于信息和成本優勢，最大化自身利潤時，對信息共享方式的決策。本文將信息共享下M1和R2之間信息共享方式的決策問題，視為信號傳遞問題，并用分離均衡和混同均衡的模型進行求解。這兩類信號傳遞模型在經濟學和管理學的文獻中被廣泛運用[11-12,14]。

3.1 信息共享下的分離均衡

假設R2的真實信念和M1對于R2信念的推斷完全相符，即:

因此，要想實現分離均衡共享，M1的最優策略需要滿足如下條件：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

命題3描述了不同類型M1在分離均衡下的最優決策。

命題3：當M1的產量信息共享給R2時，存在分離均衡解，讓M1和R2分別達到最優利潤，此時，M1和R2的產品數量策略為:

(1)當市場類型S=H時

(2)當市場類型S=L時

可見，在給定w的情況下，M1、R2的產品數量決策和市場需求類型，以及市場需求不確定性程度有關。當1<θ<3時，市場需求波動程度較小；當θ≥3時，市場需求波動程度較大。

3.2 信息共享下的混同均衡

因此，要想實現混同均衡共享，M1最優策略需要滿足如下條件：

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

命題4描述了不同類型M1在混同共享下的最優產量。

(1)當1<θ≤K時，存在混同均衡解，讓M1和R2分別達到最優利潤，此時，M1和R2的產品數量策略為：

(2)當θ>K時，不存在混同均衡解。

3.3 信息共享下的模式選擇

若M1決定共享信息，將面臨混同均衡共享還是分離均衡共享(或自然分離)的決策，具體如何共享信息，取決于不同的市場條件下，M1期望收益的大小。命題5描述不同情形下M1的信息共享模式。

命題5：有臨界點:

若M1決定信息共享， 其共享模式與市場需求的波動程度θ有關：

圖1 不同市場類型的M1分離均衡和混同均衡的利潤差

由上述分析可知，K，K′是M1抉擇分離或混同共享信息的臨界點。如圖2所示，K，K′與市場情況相關，當市場類型為高的比例λ增加時，即市場需求相對比較樂觀時，臨界點K，K′變小，M1更傾向于選擇混同共享信息，這與供應鏈的實踐相符，市場類型高的時候，雙方激烈競爭對M1不利，因此M1更愿意隱瞞市場需求為高的事實，避免R2樂觀入市。

圖2 不同市場情況下M1共享方式與λ的關系圖

4 M1是否信息共享的決策

由上文分析可知，M1若要信息共享，根據命題5可知M1會根據不同的市場情況選擇混同共享或分離共享(包括自然分離)；M1若不共享信息，根據命題1可知M1和R2之間存在古洛博弈均衡。本節在以上研究基礎上進一步分析：M1在最大化自身利益的條件下，權衡是否共享信息給R2。從而得到M1對供應鏈信息流控制的基本策略。本節以命題5中的K′為臨界點，按不同的市場波動情況進行討論。

4.1 市場波動較小的信息共享選擇

當1<θ≤K′，即市場波動相對較小時，若M1共享信息，會采用混同均衡共享策略。M1是否共享信息主要取決于哪一種策略獲利更高，因此，當M1混同共享的收益與不共享信息的收益滿足以下約束條件時，M1將不會共享信息。

(29)

(30)

其中，下標S∈{H,L}分別表示市場需求為高或低的情況。

式(29)表示M1在不共享信息所獲得的收益高于共享信息所獲得的收益；

4.2 市場波動大的信息共享選擇

當θ>K′，即市場波動相對較大時，同理，若M1共享信息，會采用分離共享策略，因此，當M1分離共享信息的收益與不共享信息的收益滿足一下條件時，理性的M1將不會共享信息。

(34)

(35)

其中，下標S∈{H,L}分別表示市場需求為高或低的情況。

式(34)表示M1在不共享信息時所獲得的收益高于共享信息時的收益；

命題6描述了M1是否共享信息(若共享，以什么樣的方式共享信息)的策略選擇。

命題6：M1是否共享市場信息的決策由市場情況參數λ與θ的相對關系決定，如圖3所示：

(1)市場類型為低時，如圖3(a)所示，M1都會選擇共享市場信息。當1<θ≤K′，M1在區域(I)混同共享市場信息；當θ>K'時，M1在區域(Ⅲ)分離共享市場信息；

(2)市場類型為高時，如圖3(b)所示，M1信息共享決策分為四個區域，其中在區域(I)混同共享市場信息；在區域(II)(Ⅲ)分離共享市場信息；在區域(Ⅳ)不共享市場信息。幾個區域之間的臨界點K1、K2分別為：

圖3 不同市場情況下M1的信息共享決策

通過對比不共享信息(古諾競爭)和共享信息(分離均衡及混同均衡)條件下的M1期望收益可知，當市場類型為低時，如圖1(a)所示，隨著θ的增加，M1先選擇混同均衡信息共享給R2(圖3(a)區域(I))，隨后分離均衡共享(圖3(a)區域(Ⅲ))。當市場情況為高時，如圖1(b)所示，成本優勢w-c相對于成本c的關系同樣會影響M1的決策；不同的是，高市場類型下會出現不共享信息區域(圖3(b)區域(Ⅳ))，當M1的成本優勢逐漸變大時，高市場類型的M1會在θ>K2區間內不共享確切需求信息給對方，雙方進行非對稱信息下的同時博弈，因此高市場類型下共享信息區間變小。這是因為從水平數量競爭博弈的角度分析，低市場類型的M1更愿意共享給R2，從而打擊R2的訂貨信念，獲得競爭優勢。

從技術上看，當雙方信息博弈方式從不共享信息的古諾競爭過渡到共享信息的序貫博弈，對M1期望收益產生的影響主要有兩個方面，如式(36)所示，一方面古諾競爭會提高產品售價，但是同時也間接地降低了產品數量，到底哪一個影響更大，決定了M1將會選擇哪種信息策略。

(36)

當市場波動AH-AL固定時(上一節分析了市場波動對M1選擇的影響)，成本優勢w-c相對于成本

c的關系會影響M1是否共享信息的決策。當成本優勢較小時，θ偏大，信息不共享條件下對價格的提高小于對產品數量的降低，因此M1不愿意共享市場信息，從而通過私有的市場信息獲得競爭優勢；當成本優勢逐漸變大時，M1不再擔心共享市場信息給R2帶來的消積影響，因此通過分離或混同的方式讓R2了解市場信息。

4.3 M1信息共享策略下的供應鏈利潤分析

本文通過數值算例對M1和R2在共享信息和非共享信息情況下的均衡利潤進行比較，分析M1信息共享對R2、M2均衡利潤的影響效應。分析結果如圖4所示。

圖4 M1R2的均衡利潤圖(AL+w-2c=8，且w-c=1；λ=0.4)

由圖可知，在給定w的情況下，市場波動程度θ不同，M1的信息共享策略不同。圖4(a)、(b)中M1的具體決策情況與命題5、命題6描述一致。圖4(b)中θ∈(K′,K2)(此時K2

5 M2的批發價格決策

由上節分析可知，M1是否共享信息一定程度上受M1相對于R2的成本優勢w-c影響，即受M2給R2的批發價w的影響。因此，M2可以通過調整批發價w來控制整個供應鏈的信息流以及物流，即調整M2的決策參數θ在圖3中相對于K'，K2的位置。下面舉一個算例來說明M2是如何通過調整批發價w來影響和控制供應鏈中各結點決策的。

假設市場中存在一個自產自銷商M1與另一個生產商M2以及其合作的銷售商R2，同時生產和銷售一款產品，所面臨的市場需求具體情況為：AH=150，AL=100，其中，高市場類型的概率為λ=0.75，市場需求平均值為μ=137.5。

M2可以通過降低批發價w，提高R2在市場上的競爭優勢，從而鼓勵R2訂貨；若w降低為75，此時對應的θ=2.43>K2，在市場波動AH-AL=50不變的條件下，M1相對于R2的競爭優勢降低，供應鏈將會進入信息不共享的區域(即圖3中區域Ⅳ)，此時，雖然低市場類型M1仍然共享信息采用分離均衡，但是高市場類型M1卻再無信心，不共享信息進行古諾競爭，從而提高的R2的訂貨量qe=15.62，使M2的期望利潤達到1171，如表1狀態二所示。

表1 面對波動較小的高市場需求時，兩個零售商在四種情形下的決策及其收益

M2通過改變批發價w=102.5到75，使其期望利潤從0(R2因M1傳遞的強大的競爭優勢信息而放棄訂貨)提高到了1171，其中有兩個因素分別起了作用，一是批發價降低直接影響了供應鏈的雙重邊際化作用，二是間接影響了供應鏈的信息結構；當批發價降低，而不考慮信息結構的變化時，即M1仍然分離共享所有市場信息，此時R2訂貨量qe=13.43，此時M2的期望利潤增加到1007，這是因為M2在批發價上讓步，使得R2在市場上競爭優勢變強，從而提高了訂貨量，導致M2總的期望收益大幅上升，如表1狀態四所示；而事實上，當批發價降低到75時，供應鏈的信息結構也發生了變化，高市場類型不再共享信息，導致R2的訂貨量進一步上升到qe=15.62。因此，對M2的期望收益而言，批發價降低導致的雙重邊際化作用的比例為83.7%，而信息結構的變化作用的比例是16.3%，即(1171-1007)/1007。如果針對R2的訂貨量，或者調整相關參數，也能得到類似的結論。

6 結語

以往的供應鏈信息共享研究都是基于供應鏈信息結構外生給定，且所有成員都真實傳遞信息的前提下展開，而事實上，由于供應鏈成員的自利性以及理性博弈，信息共享往往伴隨著供應鏈中的信息流、物流、資金流的重新定位，從而影響供應鏈的決策及績效。研究表明，在不同的成本差異下，生產商從自身利益出發，會策略性地選擇不同的批發價格，通過對供應鏈的雙重邊際化作用及信息結構的影響，控制整個供應鏈的競爭態勢；考慮到生產商的這種行為，自產自銷商會充分利用自己的信息優勢，策略性地選擇信息共享以及共享方式。當低市場類型時，自產自銷商樂于共享信息，使競爭對手攝于低迷的市場狀況從而降低訂貨量；在高市場類型且市場波動較小時自產自銷商依然選擇共享，在樂觀的市場條件下表明自己的競爭優勢，從而一定程度上威攝入侵者，而市場波動較大時，由于信息共享的額外收益不足以抵消信息共享而產生的額外成本，從而選擇不共享。

本文研究還可進一步拓展，例如，對于不同風險偏好的決策者，在相同市場波動情況下的決策不同，在本文的基礎上考慮決策者風險偏好，可進一步豐富信息共享的理論研究；另外，本文若結合單一生產商和單一銷售商之間的協調機制進行分析，可進一步深入研究生產商對下游供應鏈信息結構的影響。

附錄：

命題1證明：

M1的期望收益函數：

(2)

R2期望收益函數為：

(3)

式(2)(3)取AS=μ，同時聯立求解可得：

(4)

則將式(4)帶進式(2)中得到M1的最優訂購量分別為：

根據式(1)可以得到M1、R2的最優定價策略：

此時零售商的最優利潤分別為：

命題2證明：

M1的期望收益函數為：

(5)

R2的期望收益函數為：

(6)

(7)

聯立求解(5)、(6)和(7)式可以得到M1、R2最優訂貨量分別為：

根據式(1)，可以得到M1和R2的最優定價策略：

兩個零售商的最優收益：

命題3證明:

分離均衡下式(8)-(13)化解如下：

(14)

(15)

(16)

由式(16)得：

(17)

根據式(14)、(15)，上述非線性規劃問題的拉格朗日函數可構造如下：

該拉格朗日函數的一階庫恩塔克(Karush-Kuhn-Tucker，簡稱KKT)條件為：

(18)

(19)

θ2-4θ+3≥0

(20)

其中，1<θ<3，即此時市場需求波動較小。

進而根據式(1)，可以得到兩個零售商的定價策略：

兩個零售商的最大收益：

命題4證明：

將式(25)、式(26)分別代入式(21)、(22)，可知M1偏離混同時，實際的銷售量分別為：

當市場需求為高時，M1選擇混同均衡的最小訂貨量為：

當市場需求為低時，M1選擇混同均衡的最小訂貨量為：

進一步化簡得到：

(27)

代入θ，式(27)化簡為：(1-λ)(θ-1)[(1-λ)(θ-1)+2θ]≥4(θ-1)2

M1在市場需求高、低著情況下的定價策略及最大收益：

R2的定價策略及最大收益則為：

命題5證明：

1、當市場需求為低類型時

由于0<λ<1，K∈(1,3)，存在以下三種情況：

(1)當1<θ≤K時，分離與混同均衡下，M1訂貨量關系：

分離均衡與混同均衡下，M1的期望利潤關系為

(28)

2、當市場需求為高類型時，同理可證，證明略。

命題6證明：

1、當市場波動情況較小1<θ≤K′時

(1)當市場情況為低，將式(29)和(30)具體展開：

(31)

當Δ≤0時，θ同時滿足Δ≤0且1<θ≤K′時，式(31)恒成立，M1不共享市場信息。用mathematica求解以上不等式，得：θ∈φ。

x7={2AL-μ+w-2c

x8={2AL-μ+w-2c

(2)當市場情況為高，將式(29)和(30)具體展開：

(32)

x9={2AH-μ+w-2c

x10={2AH-μ+w-2c

θ-1<

(33)

θ的取值范圍不僅要滿足不等式(33)，還要滿足Δ>0且1<θ≤K′的條件，在該條件下解不等式(33)可得：存在λ1(證明存在性)和K1，其中：

當0<λ<λ1時，存在1<θ

λ1存在性的證明：f(λ)=K1-K′，f(λ)對λ求導，可得λ∈(0，λ*)時f(λ)遞增，λ∈(λ*，1)時f(λ)遞減，f(λ*)為f(λ)極大值。f(0+)=-1.258<0且f(1-)=0.2>0，則f(λ*)>max(f(0+),f(1-))，所以f(λ*)>0。函數f(λ)=K1-K'有且只有一點λ1使得f(λ1)=0。

綜上，在市場波動小且市場情況為高時，存在λ1和K1。當0<λ<λ1時，存在1<θ

2、當市場波動情況較大θ>K′時，同理可證，證明略。

其余證明略