精準(zhǔn)診評(píng)答疑解惑，經(jīng)典習(xí)題同類跟進(jìn)
—— 從幾則“在線”答疑案例說(shuō)起

☉江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)東沙湖學(xué)校西校區(qū) 左愛(ài)娟

鄭毓信教授曾在《人民教育》發(fā)表系列文章推介數(shù)學(xué)教師的專業(yè)基本功，如“善于舉例”“善于提問(wèn)”“善于比較和優(yōu)化”，這些在課堂教學(xué)中顯得非常重要.除此之外，個(gè)別輔導(dǎo)或作業(yè)批改時(shí)，教師還需要具備答疑解惑的專業(yè)功夫.最近“在線”給學(xué)生的一些錯(cuò)題進(jìn)行診評(píng)并答疑輔導(dǎo)，取得較為理想的答疑效果，引發(fā)筆者對(duì)“在線”答疑輔導(dǎo)的一些思考.檢索文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)早有“先行者”（詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)［1］～［2］）.本文先梳理幾個(gè)“在線”答疑的案例，并闡釋相關(guān)思考，供研討.

一、“在線”答疑輔導(dǎo)案例展示

題1：如圖1，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG2+FH2=______.

思路診評(píng)與點(diǎn)撥：從學(xué)生標(biāo)注的4個(gè)3及EG⊥HF看，思路已接通，可能是運(yùn)算上出錯(cuò).一個(gè)有效的建議是，設(shè)GE、FH交于O點(diǎn)，恰當(dāng)設(shè)元，設(shè)HO=x，GO=y，由勾股定理得x2+y2=9，待求的GE、FH的平方和是4（x2+y2）=36.可見(jiàn)，幾何演算類問(wèn)題，恰當(dāng)引入?yún)?shù)可以簡(jiǎn)化推理演算的表達(dá)式，使得我們避免復(fù)雜大寫(xiě)字母的運(yùn)算處境，這是值得分享和積累的經(jīng)驗(yàn).

圖1

圖2

題2：如圖2，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M為邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，且∠MDN=90°，則cos∠DMN為_(kāi)_____.

思路診評(píng)與點(diǎn)撥：學(xué)生原有思路（過(guò)點(diǎn)M、N作兩條垂線段）雖然有一些進(jìn)展，但對(duì)于目標(biāo)（∠DMN的余弦值）沒(méi)有很快接近，反而陷入復(fù)雜的運(yùn)算.這種輔助線構(gòu)造不利于接近目標(biāo)，需要“折返”“調(diào)頭”.（隨感：一個(gè)優(yōu)秀學(xué)生、有智慧的人應(yīng)該有“調(diào)頭”的勇氣）

思路1：過(guò)點(diǎn)D分別向AB、AC作垂線段DG、DH，垂足分別為G、H，可利用相似三角形處理……最終導(dǎo)出DN∶DM的值，這是∠DMN的正切值，思路就接通了.

思路2：把目光投向四邊形AMDN，雙垂直？對(duì)角互補(bǔ)嗎？是否四點(diǎn)共圓？確認(rèn)這些之后，連接AD，可將∠DMN轉(zhuǎn)化為∠DAN，從而快速轉(zhuǎn)化為∠C的正切值，答案只需口算.（當(dāng)然，運(yùn)算簡(jiǎn)單的方法需要付出邏輯思維的代價(jià).對(duì)于一名優(yōu)秀學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該思路開(kāi)闊，即“思維向四面八方打開(kāi)”）

題3：將一副三角板（如圖3）擺放在一起，組成四邊形ABCD，連接AC，則tan∠ACD的值等于______.

圖3

思路診評(píng)與點(diǎn)撥：學(xué)生原有作高（作AC邊上的高）的想法，沒(méi)有走通，但這種念頭是有效的，可以調(diào)整為構(gòu)造CD邊上的高AF，將“右下角”補(bǔ)全成等腰直角三角形BDE，就能順利突破思路.這里有一個(gè)關(guān)鍵是“增量巧設(shè)”（與學(xué)生原有設(shè)法相比，更有利于后續(xù)演算），即設(shè)AB=a，于是可得出BD=BE=a，BC=CE=a，再把目光投向等腰直角三角形AEF，就可想清CF、AF的長(zhǎng)了，從而獲得思路貫通.

題4：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）的圖像如圖4所示，則ax2+bx+c=m有實(shí)數(shù)根的條件是______.

思路診評(píng)與點(diǎn)撥：學(xué)生原有答案（-m≥5）莫名其妙，解集表達(dá)形式上怎么也不能寫(xiě)-m啊.直接看出答案，視ax2+bx+c=m左邊為圖中拋物線“不動(dòng)”，將右邊視為動(dòng)直線y=m，可直觀看出直線與拋物線有交點(diǎn)時(shí)，m≥-2.這道題的解題策略是“以形助數(shù)”，提供以下兩道習(xí)題，作為同類跟進(jìn).

圖4

圖5

同類鏈接1：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖5所示，試分析關(guān)于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情況.

同類鏈接2：若二次函數(shù)y=x2+bx的圖像的對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0）且平行于y軸的直線，則關(guān)于x的方程x2+bx=5的解為（ ）.

A.x1=0，x2=4 B.x1=1，x2=5

C.x1=1，x2=-5 D.x1=-1，x2=5

二、關(guān)于答疑解惑的幾點(diǎn)思考

1.深刻理解習(xí)題結(jié)構(gòu)，能從不同角度貫通思路

給學(xué)生答疑輔導(dǎo)之前，需要先深刻理解習(xí)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，嘗試從不同的角度貫通思路，并且明辨不同解法的繁簡(jiǎn)、優(yōu)劣，這樣才能站在更高的高度理解學(xué)生的思路、錯(cuò)誤及思維障礙之處.特別是，教師的解法研究要盡可能體現(xiàn)“回到定義”的“初等解法”，因?yàn)楫?dāng)學(xué)生思路受阻時(shí)，需要及時(shí)引導(dǎo)他們回到“回到定義”的“自然而然的解題念頭”，而不是簡(jiǎn)單化地轉(zhuǎn)化為一些個(gè)性化的“模型”“模式”.當(dāng)然，一些重要的“解題模型”、轉(zhuǎn)化策略或求解經(jīng)驗(yàn)也可通過(guò)由簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)幫助學(xué)生推導(dǎo)確認(rèn)，用于一些較難習(xí)題的有效轉(zhuǎn)化.這些理解習(xí)題的功夫其實(shí)都是后續(xù)精準(zhǔn)診評(píng)、解惑的基礎(chǔ).

2.認(rèn)真閱讀學(xué)生解法，讀懂已有進(jìn)展精準(zhǔn)診評(píng)

教師在深刻理解習(xí)題的結(jié)構(gòu)與解法之后，接下來(lái)就是認(rèn)真分析學(xué)生的解法，由于在線答疑并不是面批或當(dāng)面答疑，所以無(wú)法開(kāi)展即時(shí)對(duì)話，特別是學(xué)生對(duì)問(wèn)題有怎樣的理解進(jìn)展、想法只能根據(jù)“圖片”（更多情況下是所拍照片）上遺留下來(lái)的一些解題痕跡，如演算草稿或圖形上的分析痕跡進(jìn)行診評(píng).根據(jù)這些答題痕跡，我們要嘗試?yán)斫鈱W(xué)生的思考方向、已有進(jìn)展，并開(kāi)展精準(zhǔn)診評(píng)、提出解題建議，在引導(dǎo)解題思路時(shí)最好能從學(xué)生已有進(jìn)展或已有念頭出發(fā)，使之不斷豐滿，接近解題目標(biāo)，如果出現(xiàn)錯(cuò)誤的解題方向，則需要恰當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生有“敢于調(diào)頭”的解題勇氣和智慧.

3.經(jīng)典習(xí)題解法錯(cuò)漏，需要同類跟進(jìn)修補(bǔ)漏洞

答疑解惑過(guò)程中遇到的習(xí)題會(huì)有很多類型，教師在遇到一些經(jīng)典習(xí)題時(shí)，要保持敏感，引導(dǎo)學(xué)生重視經(jīng)典問(wèn)題，在剖析錯(cuò)誤原因、貫通思路之后，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后回顧與反思：還有哪些解法？不同解法需要體現(xiàn)哪些領(lǐng)域的知識(shí)或性質(zhì)定理？等等.在此基礎(chǔ)上，需要像上文“題4”一樣，給出同類習(xí)題的鏈接跟進(jìn)，讓學(xué)生在訂正之后有同類題的變式再練，以有效提高對(duì)這類習(xí)題的處理能力.

4.答疑解惑是基本功，值得教師長(zhǎng)期修煉精進(jìn)

師者，所以傳道授業(yè)解惑也.數(shù)學(xué)老師的答疑解惑能力應(yīng)該是一項(xiàng)專業(yè)基本功，這項(xiàng)專業(yè)基本功的背后是教師扎實(shí)的解題能力，閱讀、傾聽(tīng)學(xué)生的能力，恰當(dāng)、精準(zhǔn)診評(píng)學(xué)生的能力，特別是，除了解題思路的貫通，還要向?qū)W生傳遞解題信心，鼓勵(lì)學(xué)生不怕困難、迎難而上，又要有善于調(diào)頭、回到起點(diǎn)再出發(fā)的勇氣.此外，答疑輔導(dǎo)不宜直接告知答案或思路，要通過(guò)恰當(dāng)?shù)脑O(shè)問(wèn)與誘導(dǎo)，使學(xué)生能自主發(fā)現(xiàn)解題思路并獲得最后解答，這樣對(duì)于保護(hù)學(xué)生的解題信心是非常重要的.

三、寫(xiě)在后面

教學(xué)即研究，教育現(xiàn)場(chǎng)無(wú)處不在.本文關(guān)注的是答疑解惑這個(gè)常見(jiàn)的教學(xué)話題，但是“至小無(wú)內(nèi)”，如果深入下去，不同教師的答疑解惑的水平和功夫差異是巨大的，當(dāng)我們以精湛的答疑解惑能力呈現(xiàn)在學(xué)生面前時(shí)，收獲的是教師的專業(yè)威信，還有來(lái)自學(xué)生和家長(zhǎng)的敬佩.讓我們共同努力，期待更多答疑解惑案例的分享，促進(jìn)這類課題的研究更豐富和深入.