多個點電荷平衡與非平衡的進階學習

安徽

多個點電荷在彼此間的靜電力作用下處于平衡或非平衡狀態，點電荷可以保持靜止也可以做變速運動，軌跡可以是直線，也可以是曲線。解題的方法可以采用動態分析、相似形、整體法和隔離法等。

一、兩個點電荷的平衡與非平衡

1.1 兩個點電荷的平衡

【例1】如圖1，兩個帶有同種電荷的小球，用絕緣細線懸掛于O點，若平衡時兩小球到過O點的豎直線的距離相等，則兩小球的質量關系為

( )

A.m1>m2B.m1=m2

C.m1

圖1

圖2

【反思】共點力平衡問題的解題方法有解析法、圖象法，對于三個力的平衡往往可以采取圖象法，可以構建直角三角形，也可以構建普通三角形，對于普通三角形可以采用正弦定理、余弦定理，也可以采用相似形求解。

1.2 兩個點電荷的非平衡

圖3

【例2】

如圖3，帶電粒子

A

帶正電，帶電粒子

B

帶負電，僅在彼此間的庫侖力作用下繞連線上某點

O

做勻速圓周運動，下列說法正確的是

( )

A.它們做圓周運動的向心力大小相等

B.它們的運動半徑與電荷量成正比

C.它們的角速度相等

D.它們的線速度與質量成正比

【反思】此情景類似雙星問題，彼此間的庫侖引力提供各自的向心力，兩點電荷角速度相等、周期相等，半徑和質量成反比，線速度大小和質量成反比。

二、三個點電荷的平衡與非平衡

2.1 三個點電荷的平衡

【例3】如圖4，在光滑絕緣水平面上放置電荷量分別為q1、q2、q3的三個點電荷，三者位于一條直線上，已知q1與q2之間的距離為r1，q2與q3之間的距離為r2，三個點電荷僅在彼此間的庫侖力作用下均處于平衡狀態。

圖4

(1)若

q

2

為正電荷，判斷

q

1

和

q

3

的電性；

(2)求q1、q2、q3三者電荷量大小之比。

【分析與解】(1)三個點電荷僅在彼此間的庫侖力作用下均處于平衡狀態，每個點電荷受到的庫侖力均為等大反向的一對平衡力，所以當q2為正電荷，q1和q3必為負電荷。

【反思】這是一道經典的三個點電荷的平衡模型，關鍵采用假設分析法確定三個點電荷的電性關系“兩同夾異”，利用平衡問題構建電荷量的關系“兩大夾小、近小遠大”。

2.2 三個點電荷的非平衡

圖5

【例4】如圖5，兩個固定的帶電荷量均為+q的點電荷a、b，相距為L，通過它們的連線中點O作此線段的垂直平面，在此平面內恰好有一個質量為m，帶電荷量為-q的點電荷c以O為圓心做勻速圓周運動，a、b、c三個點電荷構成一個等邊三角形，已知靜電力常量為k，點電荷c的重力不計。則c的速率為

( )

圖6

【反思】圓周運動的求解基本思路為確定軌道平面、確定軌道圓心、確定軌道半徑以及確定向心力來源。

【例5】如圖7，光滑絕緣水平面上有三個孤立的點電荷Q1、Q2、Q3，其中Q2恰好靜止不動，Q1、Q3圍繞Q2做勻速圓周運動，在運動過程中三個點電荷始終共線。已知Q1、Q3分別與Q2相距r1、r2，不計點電荷間的萬有引力，下列說法正確的是

( )

A.Q1、Q3一定是同種電荷

圖7

B.

Q

1

、

Q

3

可能是異種電荷

【反思】此模型類似三星問題，天體間的相互作用力表現為萬有引力，但電荷間的相互作用力既有引力也有斥力。兩個模型的核心均是分析受力情況以及力的作用效果，達到平衡還是非平衡，合力為零還是提供向心力等。

三、四個點電荷的平衡與非平衡

3.1 四個點電荷的平衡

圖8

【例6】如圖8，水平面上A、B、C三點固定著三個電荷量均為Q的正點電荷，將另一質量為m的帶正電的小球(可視為點電荷)放置在O點，OABC恰構成一棱長為L的正四面體。已知靜電力常量為k，重力加速度為g，為使小球能靜止在O點，小球所帶的電荷量為

( )

圖9

【反思】本題的背景是三維立體，對學生的空間想象能力要求較高。通常可以采用降維思想，用兩個二維平面等效替代三維立體，也可以建立三維坐標系分析。

【例7】如圖10，在光滑絕緣的水平桌面上有四個小球，所帶電荷量分別為-q、+Q、-q、+Q。四個小球構成一個菱形，-q、-q的連線與-q、+Q的連線之間的夾角為α。若此系統處于平衡狀態，則正確的關系式是

( )

圖10

圖11

【反思】本題的四個點電荷僅在彼此間的庫侖力作用下都處于平衡，解題的關鍵在于受力分析，構建平衡方程。

3.2 四個點電荷的非平衡

【例8】如圖12，邊長為L的等邊三角形△ABC的三個頂點均有帶電荷量為Q的點電荷，三角形的中心O點有一帶電荷量為-Q的點電荷，四個點電荷僅在彼此間的靜電力作用下構建一個穩定的系統，A、B、C三個點電荷繞O點做勻速圓周運動，每個點電荷質量均為m。試求：A、B、C三個點電荷繞O點做勻速圓周運動的周期。

圖12

圖13

【分析與解】根據對稱性易知處在中心O點的點電荷處于平衡狀態，對處于頂點的點電荷受力分析如圖13，合力提供向心力。

【反思】四個點電荷僅在彼此間的庫侖力作用下構建一個穩定系統類似于四星系統，相比較天體模型，本題不僅需要考慮彼此間的引力還需要考慮斥力。

【例9】如圖14，邊長為L的正方形ABCD的A、C兩個頂點具有電荷量為+q的點電荷，B、D兩個頂點具有電荷量為-q的點電荷，四個點電荷僅在彼此間的靜電力作用下構建一個穩定的系統，繞正方形ABCD的中心做勻速圓周運動，每個點電荷質量均為m。試求：四個點電荷做勻速圓周運動的速率。

圖14

圖15

【分析與解】根據題意四個點電荷都繞正方形ABCD的中心做勻速圓周運動，彼此間的靜電力提供各自的向心力。受力分析如圖15。

【反思】例題2、例題5、例題9都類似于天體的多星模型，兩者間有相似的地方——彼此間的相互作用力提供向心力；也有相異的地方——天體間的相互作用力表現為引力，點電荷間的相互作用力不僅有引力，還有斥力。

【總結】通過以上的分層學習，層層推進、步步為營，前一題的學習為后面設置了足夠的平臺，學生的思維也較為順利的建立。從不同角度的發散較好地培養學生的發散思維，拓寬了學生的思維廣度，同時利用定量的分析有效加強了思維的深度。