觀十年高考真題 析萬有引力應用

陜西

隨著我國發射的“嫦娥四號”登月探測器在月球背面成功軟著陸，萬有引力定律的應用問題必將成為高考命題的重點和熱點。雖然此類題目難度不大，但是學生在處理此類問題時不能快速、準確地建立物理模型，胡亂代入“黃金代換”公式、盲目利用萬有引力提供向心力、解題效率不高等現象普遍存在。本文對十年高考真題中萬有引力應用題目進行了模型歸類和例析，以供參考。

一、“定點”類模型

定點類模型是指在宇宙空間某一位置對物體的運動進行研究，常利用萬有引力與重力的關系處理此類問題。

1.地球表面附近“定點”

【例1】(2014年全國卷Ⅱ)假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉的周期為T，引力常數為G，則地球的密度為

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【點評】如果題目指明具體位置的重力加速度，如兩極、赤道、某緯度等，則不能忽略地球的自轉。此時只有在兩極萬有引力等于重力，即“黃金代換”公式成立；其余位置萬有引力等于重力和自轉向心力的矢量和，“黃金代換”公式不成立。

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【點評】本題中小球拋出的位置“在某行星和地球上相對于各自水平地面附近”，還有一些題目給出的位置“在地球表面”，這些位置含糊不具體，雖然題目沒有說明，但一定是忽略了地球的自轉，萬有引力等于重力，“黃金代換”公式成立。

2.地球內部“定點”

【例3】(2012年全國卷Ⅰ)假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為

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3.地球上空“定點”

【例4】(2015年重慶卷)宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內進行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態下的物理現象。若飛船質量為m，距地面高度為h，地球質量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為

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二、“環繞”類模型

環繞類模型是指衛星離開地面，只在萬有引力作用下繞地球做勻速圓周運動。常利用萬有引力提供向心力處理此類問題。

1.地球表面(近地)環繞

【例5】(2018年全國卷Ⅱ)2018年2月，我國500 m口徑射電望遠鏡(天眼)發現毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉周期T=5.19 ms。假設星體為質量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67×10-11N·m2/kg2。以周期T穩定自轉的星體的密度最小值約為

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A.5×109kg/m3B.5×1012kg/m3

C.5×1015kg/m3D.5×1018kg/m3

2.地球上空(遠地)環繞

【例6】(2013年海南卷)“北斗”衛星導航定位系統由地球靜止軌道衛星(同步衛星)、中軌道衛星和傾斜同步衛星組成。地球靜止軌道衛星和中軌道衛星都在圓軌道上運行，它們距地面的高度分別約為地球半徑的6倍和3.4倍，下列說法中正確的是

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A.靜止軌道衛星的周期約為中軌道衛星的2倍

B.靜止軌道衛星的線速度大小約為中軌道衛星的2倍

C.靜止軌道衛星的角速度大小約為中軌道衛星的1/7

D.靜止軌道衛星的向心加速度大小約為中軌道衛星的1/7

【點評】衛星繞同一中心天體做勻速圓周運動時有“高軌低速(v、ω、a)大周期(T)”的特點。

3.“雙星”環繞

【例7】(2018年全國卷Ⅰ)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據科學家們復原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉動12圈，將兩顆中子星都看作是質量均勻分布的球體，由這些數據、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星

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A.質量之積 B.質量之和

C.速率之和 D.各自的自轉角速度

【點評】雙星各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供。

三、“定點”與“環繞”模型綜合類

【例8】(2015年天津卷)P1、P2為相距遙遠的兩顆行星，距各自表面相同高度處各有一顆衛星s1、s2做勻速圓周運動。圖中縱坐標表示行星對周圍空間各處物體的引力產生的加速度a，橫坐標表示物體到行星中心的距離r的平方，兩條曲線分別表示P1、P2周圍的a與r2的反比關系，它們左端點橫坐標相同。則

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A.P1的平均密度比P2的大

B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小

C.s1的向心加速度比s2的大

D.s1的公轉周期比s2的大

【點評】本題是表面(近地)“環繞”與地球上空(遠地)環繞的綜合問題。

四、結語