學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)方法破解物理問題

甘肅

馬克思曾說過：“一切科學(xué)只有成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步。”《考試大綱》中也有明確的闡述：“要求學(xué)生能根據(jù)具體問題列出物理量間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形及函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析，能進(jìn)行正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算。”數(shù)學(xué)方法是研究物理問題、進(jìn)行科學(xué)抽象和邏輯推理的重要工具，而且運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題會(huì)使過程嚴(yán)密、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、關(guān)系明確，避免產(chǎn)生錯(cuò)誤。在高考物理試題中，數(shù)理結(jié)合問題往往成為考查學(xué)生綜合能力與素質(zhì)的重要題型。因此，學(xué)會(huì)將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題以及運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推理計(jì)算的能力是學(xué)好高中物理的必備能力之一，必須得到足夠的重視和不斷的培養(yǎng)。

一、利用函數(shù)思想解決物理圖象問題

【例1】一物體沿斜面從靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t0滑至斜面底端。已知在物體運(yùn)動(dòng)過程中物體所受的摩擦力恒定。若用F、v、s和E分別表示該物體所受的合力、物體的速度、位移和機(jī)械能，則下列圖象中可能正確的是

( )

A

B

C

D

【答案】AD

【點(diǎn)評(píng)】物理圖象題型幾乎是每年高考必考點(diǎn)。物理圖象其實(shí)質(zhì)就是利用“圖象”這一數(shù)學(xué)工具來反映某一物理量與另一物理量之間的函數(shù)關(guān)系，也就是說每一個(gè)物理圖象都是與一種函數(shù)關(guān)系相對(duì)應(yīng)。因此，解決物理圖象問題關(guān)鍵就是要學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)思想，推理得到縱軸物理量與橫軸物理量之間的函數(shù)關(guān)系，才能正確的判定物理圖象。基本方法是先根據(jù)題目所給定的物理過程，準(zhǔn)確找出所遵循的物理規(guī)律和成立的物理關(guān)系，然后推理得出縱軸物理量與橫軸物理量之間的函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定正確的圖象。這種方法邏輯性強(qiáng)、有理有據(jù)，不易出錯(cuò)。

二、利用圖象解決運(yùn)動(dòng)問題

【例2】在水平軌道上有兩列火車A和B相距x，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而B車同時(shí)做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩車運(yùn)動(dòng)方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0滿足什么條件。

【解析】先作A、B兩車的v-t圖象，如圖1所示，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間兩車剛好不相撞。

圖1

對(duì)A車有vA=v′=v0-2at

對(duì)B車有vB=v′=at

經(jīng)t時(shí)間兩車發(fā)生的位移之差為原來兩車間距離x，可用圖中的陰影部分面積表示，由圖象可知

【點(diǎn)評(píng)】利用物理圖象也就是利用數(shù)學(xué)工具解決物理問題是一種行之有效的方法。圖象法解決物理問題可以使問題簡潔、直觀，更為重要的是可以簡化運(yùn)算過程，使解題過程簡潔明了。在運(yùn)用圖象解題的過程中，必須準(zhǔn)確把握?qǐng)D象的斜率、截距、交點(diǎn)、面積、臨界點(diǎn)等幾個(gè)要點(diǎn)。

三、利用不等式解決物理最值問題

【例3】如圖2所示，一平直傳送帶以速度v=2 m/s勻速運(yùn)動(dòng)，在傳送帶的A處把工件無初速度地放在傳送帶上，經(jīng)過時(shí)間t=6 s，能傳送到B處。欲用最短的時(shí)間把工件從A處傳到B處，已知A、B相距L=10 m。求工件最短的運(yùn)行時(shí)間及傳送帶的運(yùn)行速度。

圖2

勻速運(yùn)動(dòng)過程中，有x2=vt2

從A到B過程中，有t=t1+t2且L=x1+x2

聯(lián)立以上各式解得t1=2 s，a=1 m/s

設(shè)用最短時(shí)間把工件從A處傳到B處時(shí)，傳送帶的速度為v′。

工件先勻加速后勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有

或者：由基本不等式可得

即最短時(shí)間為

四、利用歸納思想解決重復(fù)性問題

【例4】一傾角為θ=45°的斜面固定于水平地面，斜面頂端離地面的高度h0=1 m，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量m=0.09 kg的小物塊(視為質(zhì)點(diǎn))。小物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2。當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度g=10 m/s2。在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，擋板給予小物塊的總沖量是多少？

圖3

【解析】設(shè)小物塊第1、2、3、…、n次與擋板碰撞后的速率分別為v1、v2、v3、…、vn，則有

解得第1次碰后的速率為

設(shè)小物塊第1次與擋板碰撞后沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大距離為s1，從上升到返回的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理有

同理，可得第3次碰后的速率為

……

在小物塊與擋板的前4次碰撞過程中，根據(jù)動(dòng)量定理有

I=2m(v1+v2+v3+v4)

根據(jù)等比數(shù)列求和，有

I=2m(v1+v2+v3+v4)

=2mv1(1+q+q2+q3)

【點(diǎn)評(píng)】通常情況下，重復(fù)性物理過程都具有一定的規(guī)律性，推理得出其遵循的規(guī)律性關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，而數(shù)學(xué)歸納法正是尋找其規(guī)律最快捷有效的方法。基本步驟有：①根據(jù)題意，分析物理過程中的規(guī)律性變量，并找出遵循的物理規(guī)律或物理關(guān)系；②依次找出第1、第2、第3狀態(tài)下各物理量的關(guān)系；③驗(yàn)證一般情況下，各物理量間的關(guān)系；④確定第n狀態(tài)下的通式；⑤根據(jù)題目要求求出物理量，通常會(huì)用到等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和。

五、利用幾何方法推斷物理關(guān)系

圖4

( )

A.彈簧對(duì)小球的彈力一直增大

B.彈簧對(duì)小球的彈力先減小、后增大

C.MN桿對(duì)小球的彈力一直增大

D.MN桿對(duì)小球的彈力先增大、后減小、再增大

圖5