公式法教學(xué)亟待重視元的可變性

江蘇省蘇州市吳中區(qū)蘇苑高級(jí)中學(xué) (215128)

蔣鳳燕 楊品方

對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有種普遍說(shuō)法，就是可以套用公式．也正因?yàn)榭谠E公式定理的重要，所以我們的數(shù)學(xué)老師在新授課復(fù)習(xí)課時(shí)都熱衷于默寫(xiě)公式，針對(duì)一些不能準(zhǔn)確默寫(xiě)的還要罰抄，可以理解．雖然學(xué)生能準(zhǔn)確默寫(xiě)公式了，但是在套用公式的時(shí)候，還是免不了發(fā)生錯(cuò)誤或者說(shuō)是多走了不少的彎路．

一、重視元的外表形式的可變性

一般地，公式簡(jiǎn)潔明了，我們要賦予簡(jiǎn)潔字母以實(shí)際意義，還要指出一些常用的變形．

二、重視元的主次地位的可變性

再比如，在區(qū)間[0,2π)上，研究關(guān)于x的方程mcosx+m2+1=0的解的可能情況．我們可以整理方程為m2+cosx×m+1=0，這是關(guān)于m的一元二次方程，Δ=cos2x-4×1<0，方程無(wú)解，“沒(méi)有實(shí)數(shù)m能使得方程成立”，所以關(guān)于x的方程mcosx+m2+1=0也無(wú)解．

例2 對(duì)于滿(mǎn)足0≤p≤4的一切實(shí)數(shù)p，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

我們的習(xí)慣思維是“x”的不等式，從而整理成x2+(p-4)x-p+3>0，由于題目要求x的取值范圍，所以二次函數(shù)f(x)=x2+(p-4)x-p+3的定義域待定，從而無(wú)法求出該函數(shù)的值域，就不方便讓該函數(shù)值與0比較．已知實(shí)數(shù)p的取值范圍，對(duì)于某個(gè)變量p的函數(shù)，就是“已知定義域可求值域”的問(wèn)題了．于是，反客為主，視p為變量，視x為常數(shù)，就可解了．

從而x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)．

在解題中，需要有一種主元次元地位角色相互轉(zhuǎn)化的意識(shí)，而且必須有這種意識(shí)，這就好比“三人行必有我?guī)煛保淳唧w場(chǎng)合的．

三、重視消A元消B元的可變性

例3 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足Sn=2an-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

學(xué)生效仿，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=2(Sn-Sn-1)-1，即Sn=2Sn-1+1，兩邊同時(shí)加1，就有Sn+1=2(Sn-1+1)．由S1=2S1-1解得S1=1，由S1+1=2≠0，Sn-1+1≠0，所以{Sn+1}是首項(xiàng)為2公比為2的等比數(shù)列，Sn+1=2×2n-1，Sn=2n-1．故an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1(n≥2)，a1=1滿(mǎn)足，所以an=2n-1．

這樣的解法有點(diǎn)兜圈子，走遠(yuǎn)路了．為了求解an的表達(dá)式，可以選擇消除Sn．

解：取n=1，a1=2a1-1，所以a1=1．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=2an-1-1，兩式相減，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，由于a1=1≠0，所以{an}就是以1為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列，于是an=2n-1．

我們知道，由an可以求Sn，反之由Sn也可以求an，那么例3問(wèn)題能否修改成：“已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足Sn=2an-1，求Sn的解析式”呢？不合適！這是有意在誤導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析！退一步講，至少也要先求通項(xiàng)再求和，于是“已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿(mǎn)足Sn=2an-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并求出Sn的解析式．”這就要求我們的老師在編擬試題的時(shí)候，不能有意“卡”學(xué)生，要注重通性通法問(wèn)題．

在教學(xué)中，我們需要公式，需要活化公式，而不能僅僅停留在公式所用的字母上．